Ответ на последний вопрос — нет.
Пусть

— любое несчетное множество,

— пространство финитных (имеющий конечный носитель) функций

. Пространство линейных функционалов над

естественным образом изоморфно пространству

всех функций

. Возьмем в качестве

пространство функций

с не более чем счетным носителем и снабдим

слабой топологией

.
1) Не все линейно независимые множества будут замкнуты. Например, незамкнутым будет множество

, составленное из «единичных» базисных векторов (

). Действительно, любая окрестность нуля содержит пересечение ядер некоторых линейных функционалов

, «порожденных» элементами

. Поскольку

не более чем счетно (как объединение конечного числа не более чем счетных множеств), а

несчетно, то найдется некоторый вектор

, попадающий в пересечение ядер. Таким образом,

.
2) Покажем, что все линейно независимые множества секвенциально замкнуты. Для этого достаточно доказать, что не существует линейно независимой последовательности, сходящейся к нулю.
Предположим противное: пусть

— линейно независимая последовательность,

. Можно считать, что элементы

попарно разные.
Обозначим

. Можно считать, что

. (Этого можно добиться выбором подпоследовательности, используя то, что

линейно независимы и попарно разные.) Для любого

выберем какое-нибудь

.
Построим теперь

, полагая

для

. (Таким образом,

.) Значения

определим по индукции. Пусть уже построены

(то есть

уже определено на множестве

). Положим

.
Как несложно показать теперь,

для всех

,
что противоречит сходимости последовательности

к нулю.