Замкнутые линейно независимые множества

[AGu]

red_alert, отличное решение, спасибо!

Теперь я предлагаю подумать над этим же вопросом
в случае пространства счетной размерности.

P.S. Эта задача тоже кажется крутой.
P.P.S. Ответ опять-таки известен, причем не только вашему
покорному, но и red_alert (мы приватно общались).

[AGu]

Если что, ответ все тот же — «нет»: на счетномерном векторном пространстве тоже существует слабая топология, в которой все линейно независимые множества секвенциально замкнуты, но не все они замкнуты.

[AGu]

Делюсь анонсированным примером.

Пусть $Z=\mathbb R^{\mathbb N}$ — векторное пространство всех вещественных последовательностей,
$X\subset Z$ — векторное подпространство всех финитных (зануляющихся) последовательностей,
$\mathcal U\subset\mathcal P(\mathbb N)$ — свободный (неглавный) ультрафильтр,
$Y = \bigl\{y\in Z : \{n\in\mathbb N : y(n)=0\}\in\mathcal U \bigr\}$.

Рассмотрим стандартную двойственность $\langle x,y\rangle = \sum_{n\in\mathbb N}x(n)y(n)$
и снабдим $X$ слабой топологией $\sigma(X,Y)$.
Тогда $X$ — отделимое локально выпуклое пространство, в котором
все линейно независимые множества секвенциально замкнуты, но не все они замкнуты.

Ключевые идеи уже звучали, но если потребуется, я опубликую подробное обоснование.