Поле бесконечной плоскости

[Viktor92]

Вот этот момент никогда в мат. анализе не понимал, для простого однократного несобственного интеграла от монотонно убывающей функции с бесконечным пределом интегрирования, его значение можно представить , как предел площади под графиком и для интеграла $\int\limits_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha}$ при $\alpha<1$, интуитивно кажется должна существовать площадь, которую никогда график не сможет "описать" при $x\to\infty$, но если его брать аналитически по правилам нахождения пределов, он конечно расходится, не знаю как это представить, видно при $\alpha<1$ график функции бесконечно приближается к оси абсцисс, но никогда её "не достигает", при этом площадь так по-маленьку и "набегает", а при $\alpha>1$ график конечно точно так же бесконечно приближается к оси абсцисс и никогда её не достигает, но при этом описывает ограниченную площадь. В голове это не укладывается, что там на бесконечности происходит...

[DimaM]

Viktor92 в сообщении #987459 писал(а):

интуитивно кажется должна существовать площадь, которую никогда график не сможет "описать" при $x\to\infty$

Интуиция здесь подводит.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #987459 писал(а):

интуитивно кажется должна существовать площадь

В некотором смысле она "существует", как бесконечная. Для этого, вы должны нарисовать соответствующую фигуру на плоскости, и построить теорию площадей, которая допускает бесконечные площади. В конце концов, у фигуры, равной всей плоскости, площадь бесконечна, не так ли?

-- 08.03.2015 20:49:37 --

Viktor92 в сообщении #987459 писал(а):

В голове это не укладывается, что там на бесконечности происходит...

Ой, вот даже в более простой ситуации если задуматься... Представьте себе сумму бесконечной геометрической прогрессии. Пока знаменатель прогрессии по модулю меньше 1, то сумма конечна, а как только он превышает 1, так сразу всё ломается.