Норма и модуль

[21begun]

Чем норма отличается от модуля? Оба понятия отражают длину, тогда в чем разница?

[provincialka]

А модуль чего? Если числа или вектора, то это частный случай нормы.

[21begun]

provincialka в сообщении #987149 писал(а):

А модуль чего? Если числа или вектора, то это частный случай нормы.

Что-то всё равно не понял. Можно на конкретных примерах? Если это возможно. Не могу понять смысла обобщения.

[provincialka]

Давайте вы сначала скажете, к чему применяется функция "модуль" в вашем понимании? А к чему функция (функционал) "норма"?

[21begun]

Модуль и норма применяется к векторам, как я понимаю.

[provincialka]

Геометрическим векторам? Тогда это одно и то же.
Вообще говоря, понятие "норма" может вводиться в любом линейном пространстве. Например, пространстве строк, матриц или в пространстве функций. То есть аргументом некоторой нормы может быть достаточно сложный объект. Для функции модуль, то есть $|f(x)|$ и норма, то есть $||f(x)||$ -- совершенно разные понятия: первое -- функция, второе -- число.

[21begun]

Так, более менее у меня начало что-то складываться.

Цитата:

первое -- функция, второе -- число.

А не наоборот?

[provincialka]

Не наоборот. Вы где учитесь?

[21begun]

Цитата:

Не наоборот. Вы где учитесь?

Учусь в Оренбургском Государственном по специальности биолог . Вот пытаюсь всеми силами одолеть Зорича с Кострикиным, для того чтобы перевестись уже после этого семестра на мат.фак.

[provincialka]

А! Понятно. Можно примерно сказать так. Математики любят все обобщать. Вот, например, изучают числа. Их можно складывать, умножать, делить (не на 0). А если применить эти операции к другим объектам? Так строится понятие "поле".
Или, скажем, векторы (геометрические). Их можно
1. Складывать и умножать на число
2. Искать скалярное произведение, длину, угол.
У каждого действия есть свойства. А что еще можно складывать и умножать на число? С такими же свойствами операций? Много чего. Числа. Матрицы (в том числе строки и столбцы), функции и т.п. Вот так и получается общее понятие "линейное пространство". Его элементы иногда, по аналогии с геометрией, называют векторами.

На линейном пространстве можно ввести также аналог скалярного произведения (например, для функций -- с помощью интеграла). Или аналог длины -- норму. Получается соответственно, евклидово и нормированное пространство. Эти операции можно вводить аксиоматически.

-- 07.03.2015, 23:35 --

Этот уровень абстракции не дается легко. С одной стороны, надо изучить хорошо отдельные примеры. А с другой -- научиться не обращаться к "очевидности", а все доказывать из аксиом.

[21begun]

provincialka, спасибо, теперь всё понял.

Но все-таки,

Цитата:

Для функции модуль, то есть $|f(x)|$ и норма, то есть $||f(x)||$ -- совершенно разные понятия: первое -- функция, второе -- число.

Модуль же ведь число, а норма функция. Ну хотя это не важно, модуль тоже задается функционально.

[AV_77]

21begun в сообщении #987172 писал(а):

Модуль же ведь число

И какому числу равен $|x|$?

[provincialka]

Чтобы правильно оформить цитату, выделите текст и нажмите кнопку "Вставка", тогда цитата вставится правильно, с указанием автора и сообщения. Вот так:

21begun в сообщении #987172 писал(а):

Модуль же ведь число, а норма функция.

Откуда инфа?

Википедия писал(а):

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Функционал -- это отображение из произвольного множества в множество чисел.
А модуль функции применяется к каждому ее значению. Например, $|\sin x|$ -- это что? Число? Или все-таки функция от $x$?

-- 07.03.2015, 23:46 --

По-хорошему, надо писать не $||f(x)||$, а $||f||$, аргумент тут ни при чем.

-- 07.03.2015, 23:51 --

Вам надо научиться отличать функцию (отображение, функционал, оператор ...) от ее значения. Например, решите такую задачку: пусть $f(x) = x^3, g(x) = \sin x$. Какими формулами записываются функции $f\circ g, g\circ f, f\circ f, g\circ g$?

[ИСН]

21begun в сообщении #987172 писал(а):

Модуль же ведь число, а норма функция.

Каким это образом?
Я вижу так: вот функция $f=\sin x$. Можно взять от неё модуль. В нуле это будет какое-то число (0, ну да неважно), в 1 какое-то другое число, в 2 какое-то другое другое число. Как называется такая совокупность чисел? Да функция же.
А вот норма. Норм много разных. Например, "максимум модуля на всей области определения". Это что? Да число же.

[21begun]

Так ведь получается и модуль и норма есть функции, только модуль функция от чисел, а норма функция от функций (функционал). Правильно я понимаю? Да и у Зорича в определении написано, что норма есть функция.