2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 22:38 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Чем норма отличается от модуля? Оба понятия отражают длину, тогда в чем разница?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А модуль чего? Если числа или вектора, то это частный случай нормы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 22:53 
Аватара пользователя


03/04/14
32
provincialka в сообщении #987149 писал(а):
А модуль чего? Если числа или вектора, то это частный случай нормы.


Что-то всё равно не понял. Можно на конкретных примерах? Если это возможно. Не могу понять смысла обобщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Давайте вы сначала скажете, к чему применяется функция "модуль" в вашем понимании? А к чему функция (функционал) "норма"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:01 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Модуль и норма применяется к векторам, как я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Геометрическим векторам? Тогда это одно и то же.
Вообще говоря, понятие "норма" может вводиться в любом линейном пространстве. Например, пространстве строк, матриц или в пространстве функций. То есть аргументом некоторой нормы может быть достаточно сложный объект. Для функции модуль, то есть $|f(x)|$ и норма, то есть $||f(x)||$ -- совершенно разные понятия: первое -- функция, второе -- число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:13 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Так, более менее у меня начало что-то складываться.

Цитата:
первое -- функция, второе -- число.

А не наоборот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не наоборот. Вы где учитесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:18 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Цитата:
Не наоборот. Вы где учитесь?

Учусь в Оренбургском Государственном по специальности биолог :-(. Вот пытаюсь всеми силами одолеть Зорича с Кострикиным, для того чтобы перевестись уже после этого семестра на мат.фак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А! Понятно. Можно примерно сказать так. Математики любят все обобщать. Вот, например, изучают числа. Их можно складывать, умножать, делить (не на 0). А если применить эти операции к другим объектам? Так строится понятие "поле".
Или, скажем, векторы (геометрические). Их можно
1. Складывать и умножать на число
2. Искать скалярное произведение, длину, угол.
У каждого действия есть свойства. А что еще можно складывать и умножать на число? С такими же свойствами операций? Много чего. Числа. Матрицы (в том числе строки и столбцы), функции и т.п. Вот так и получается общее понятие "линейное пространство". Его элементы иногда, по аналогии с геометрией, называют векторами.

На линейном пространстве можно ввести также аналог скалярного произведения (например, для функций -- с помощью интеграла). Или аналог длины -- норму. Получается соответственно, евклидово и нормированное пространство. Эти операции можно вводить аксиоматически.

-- 07.03.2015, 23:35 --

Этот уровень абстракции не дается легко. С одной стороны, надо изучить хорошо отдельные примеры. А с другой -- научиться не обращаться к "очевидности", а все доказывать из аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:39 
Аватара пользователя


03/04/14
32
provincialka, спасибо, теперь всё понял.

Но все-таки,

Цитата:
Для функции модуль, то есть $|f(x)|$ и норма, то есть $||f(x)||$ -- совершенно разные понятия: первое -- функция, второе -- число.

Модуль же ведь число, а норма функция. Ну хотя это не важно, модуль тоже задается функционально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
21begun в сообщении #987172 писал(а):
Модуль же ведь число

И какому числу равен $|x|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Чтобы правильно оформить цитату, выделите текст и нажмите кнопку "Вставка", тогда цитата вставится правильно, с указанием автора и сообщения. Вот так:
21begun в сообщении #987172 писал(а):
Модуль же ведь число, а норма функция.
Откуда инфа?
Википедия писал(а):
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Функционал -- это отображение из произвольного множества в множество чисел.
А модуль функции применяется к каждому ее значению. Например, $|\sin x|$ -- это что? Число? Или все-таки функция от $x$?

-- 07.03.2015, 23:46 --

По-хорошему, надо писать не $||f(x)||$, а $||f||$, аргумент тут ни при чем.

-- 07.03.2015, 23:51 --

Вам надо научиться отличать функцию (отображение, функционал, оператор ...) от ее значения. Например, решите такую задачку: пусть $f(x) = x^3, g(x) = \sin x$. Какими формулами записываются функции $f\circ g, g\circ f, f\circ f, g\circ g$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
21begun в сообщении #987172 писал(а):
Модуль же ведь число, а норма функция.
Каким это образом?
Я вижу так: вот функция $f=\sin x$. Можно взять от неё модуль. В нуле это будет какое-то число (0, ну да неважно), в 1 какое-то другое число, в 2 какое-то другое другое число. Как называется такая совокупность чисел? Да функция же.
А вот норма. Норм много разных. Например, "максимум модуля на всей области определения". Это что? Да число же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма и модуль
Сообщение07.03.2015, 23:57 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Так ведь получается и модуль и норма есть функции, только модуль функция от чисел, а норма функция от функций (функционал). Правильно я понимаю? Да и у Зорича в определении написано, что норма есть функция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group