Подскажите испортить функцию

[AD]

Че-то никак не могу сообразить. Пытаюсь сочинить функцию $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, скажем, непрерывную в окрестности нуля (скажем, на $(-1,1)$), которая бы удовлетворяла в этой окрестности, скажем, такому комплекту условий:
1. $f(2x)=2f(x)$. В частности, $f(0)=0$.
2. Но при этом, например, $f(3x)=5f(x)$.
(в педположении, что $2x\in(-1,1)$ и $3x\in(-1,1)$ соответственно)
На числах в условии 2 не настаиваю, возможно, потребуется какая-то несоизмеримость?...

То есть, задав функцию в какой-нибудь точке, по правилу 1 ее можно продлить на счетное число убегающих к нулю точек. И по правилу 2 тоже, но и точки будут другими. Можно ли непрерывно соединить эти точки так, чтобы условия сохранились для промежуточных точек?

Есть версия покопаться среди модулей непрерывности: слышал, что из них можно выносить целые константы, а нецелые вообще говоря нельзя.

[Егор]

Не существует ненулевой непрерывной функции со свойствами 1 и 2. Пусть $f$ удовлетворяет условиям 1 и 2, причём $f(x_0)\ne0$. Докажем, что $f$ разрывна в точке $x_0$.

Идея в том, что мы можем разделить $x_0$ на $3^n$ и умножить на $2^m$, подобрав большие $m$ и $n$ так, что точка $x_1=x_0\cdot 2^m\cdot 3^{-n}$ будет близка к $x_0$. При этом значение функции $f$ в точке $x_1$ будет далеко от $f(x_0)$.

Вот чуть подробнее. Как известно из теории аппроксимации, можно выбрать большие целые $m$ и $n$, для которых разность $m-n\log_2 3$ мала. Тогда дробь $2^m\cdot 3^{-n}$ близка к единице, поэтому число $x_1=x_0\cdot 2^m\cdot 3^{-n}$ близко к $x_0$. Но значение функции в точке $x_1$ равно $f(x_1)=f(x_0)\cdot 2^m\cdot 5^{-n}=f(x_0)\cdot(2^m\cdot 3^{-n})\cdot(3/5)^n$. Это близко к $f(x_0)\cdot (3/5)^n$ и поэтому далеко от $f(x_0)$.

[AD]

Спасибо Егор! Че-то мне не хватило ясности в голове, чтобы так всё придумать. Впрочем, мне еще дальше думать и думать ... В-общем, это хорошая новость. Спасибо!

[AD]

Вот и вторая серия. :D Более жесткие условия, и опять ничего не соображается. В этот раз буду осторожнее с формулировкой.

Функция $f:\mathbb R\to\mathbb{R}$
0. непрерывна в окрестности нуля;
1. $f(0)=f'(0)=0$;
2. $f(2x)-2f(x)=o(x^2)$ при $x\to0$.

Следует ли отсюда, что
3. $f(x)=o(x^2)$ при $x\to0$?

Идея, мне нужна идея!! :]

Ясно, что из 3 следует 2. Хотелось бы обратное. Ясно, что условие 1 существенно (иначе подошла бы линейная функция), а вот насчёт 0 не уверен, но оно у меня всё равно выполнено, так что почему бы и не написать.

P.S. по-моему, хорошая теоретическая задачка для Демидовича :)

[Профессор Снэйп]

Из первого условия я так понял, что функция должна быть не просто непрерывной, а ещё и дифференцируемой в нуле.

[AD]

Профессор Снэйп, верно. А в окрестности уже не обязана быть.

[antbez]

Для степенных функций, мне кажется, из 1 и 2 следует 3

[AD]

antbez писал(а):

Для степенных функций ...

Это слишком жесткое условие. Я, конечно, могу поковыряться и найти дополнительные условия, которые я готов разрешить наложить на $f$, но "степенные функции" - это уж точно слишком узко.

[venja]

из первых двух условий следует, что
$\lim \frac{f(2x)-2f(x)+f(0)}{x^2}=0$.
Не следует ли отсюда, что $f''(0)=0$?
Уж больно выражение под знаком предела характерное.

[Gafield]

Следует.

$$ f(x)=\sum_{k=0}^n(f(\frac{x}{2^k})-2f(\frac{x}{2^{k+1}}))2^k+2^{n+1}f(\frac{x}{2^{n+1}}). $$

Так как $f(x)/x\to0$ при $x\to0$, то последнее слагаемое стремится к нулю при $n\to\infty$. Если $|f(x)-2f(x/2)|<cx^2$ при $|x|\le a$, то

$$ |f(x)|=\left|\sum_{k=0}^\infty(f(\frac{x}{2^k})-2f(\frac{x}{2^{k+1}}))2^k\right|\le \sum_{k=0}^\infty cx^2 2^{-k}=2cx^2,\ |x|<a. $$

[AD]

Gafield, очень даже похоже! Правда, есть технические тонкости, но с ними я уж сам постараюсь справиться. Кстати, непрерывность в окрестности так и не понадобилась :)

venja писал(а):

Уж больно выражение под знаком предела характерное.

Ну собственно оно отсюда и происходит :) только из существования такого предела не следует даже непрерывность в окрестности (а если даже её заранее потребовать - то не следует дифференцируемость в окрестности), и уж тем более не следует существование второй производной. В этом, собственно, вся фишка таких выражений и состоит - это обобщение понятия "вторая производная".

[Gafield]

Просто я не стал писать подробно. Если вспомнить, что такое $o(x^2)$ в нуле: для любого $c>0$ найдется $a>0$ такое, что $|...|<cx^2$ при $|x|<a$. Отсюда все и вытекает.
Ряд сходится абсолютно, как видно из оценки, и никаких сложностей нет.

ЗЫ. А если не секрет, откуда такие задачи возникают?

[AD]

Gafield писал(а):

ЗЫ. А если не секрет, откуда такие задачи возникают?

Ну просто в одной статье заменили одну разновидность производной на другую со словами "поскольку функции непрерывны, то ...". Ну я вот это вот так переосмыслил. Похоже, это утверждение действительно там дырявое.

А обобщенные производные понятно где нужны ... в книжке Зигмунда "Тригонометрические Ряды" по этому поводу есть. И про обобщенные интегралы, обращающие эти производные, тоже есть :)

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Пытаюсь сочинить функцию $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, скажем, непрерывную в окрестности нуля (скажем, на $(-1,1)$), которая бы удовлетворяла в этой окрестности, скажем, такому комплекту условий:
1. $f(2x)=2f(x)$. В частности, $f(0)=0$.
2. Но при этом, например, $f(3x)=5f(x)$.

$f(x) \equiv 0$. Ха-ха!