Двойные интегралы, корректность записи

[Nurzery[Rhymes]]

Нахожу такой интеграл: $\iint\limits_{}^{}\frac{dxdy}{(x+y+1)^2}=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{(x+y+1)^2}=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{d(x+y+1)}{(x+y+1)^2}=...=\ln\frac{4}{3}$

Корректно вот так вносить выражение под дифференциал? Мне это кажется неудобным, потому что сразу не ясно, по какой переменной дифференцируем, и приходится напрягать внимание или потом возвращаться к внутреннему интегралу исходного, чтобы вспомнить.

Я пока что не видел в учебниках внесение под дифференциал функции нескольких переменных. Может быть, такая запись вообще не используется?

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986637 писал(а):

потому что сразу не ясно, по какой переменной дифференцируем,

Вообще-то тот факт, что по иксам интегрирование производится снаружи, уже означает, что для внутреннего интеграла они -- константы и, соответственно, что внутреннее интегрирование проводится по игрекам. Там проблема не в этом, а в двусмысленности внутренних пределов интегрирования. Но эту двусмысленность очень легко устранить:

$=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{y=0}^{1}\frac{d(x+y+1)}{(x+y+1)^2}$

И, между прочим, подобным образом следует поступать всегда, даже и не в двойных интегралах, а в самых что ни на есть однократных.

[Nurzery[Rhymes]]

А вот так писать можно?

$\iint\limits_{D}^{}x\sin (x+y)dxdy = \int\limits_{0}^{\pi}dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin (x+y) dy = \int\limits_{0}^{\pi}dx \cdot x \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin (x+y)dy$

Здесь во внутреннем интеграле $x$ можно считать константой и вынести за знак интеграла, но тогда получается неоднозначность: внешний интеграл берется от внутреннего или интеграл $\int\limits_{}^{}xdx$ умножается на следующий за ним.

[svv]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986661 писал(а):

или интеграл $\int\limits_{}^{}xdx$ умножается на следующий за ним

В этом варианте чему равно $x$ во втором интеграле?

[Nurzery[Rhymes]]

svv в сообщении #986683 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986661 писал(а):

или интеграл $\int\limits_{}^{}xdx$ умножается на следующий за ним

В этом варианте чему равно $x$ во внутреннем интеграле?

Не понял вопроса. Во внутреннем интеграле мы интегрируем по $y$, а $x$ - константа, параметр и ничему не равен.

[svv]

Я исправил вопрос.
Т.е. этот $x$ может быть равен чему угодно и не имеет отношения к $x$ в первом интеграле? Ну тогда ставьте скобки.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986685 писал(а):

Во внутреннем интеграле мы интегрируем по $y$, а $x$ - константа, параметр и ничему не равен.

Вот как раз это и недопустимо. Когда в одной и той же формуле одна и та же буква в одной стороне -- константа, в другой же некая переменная. А раз недопустима, то и трактовка однозначна.

-- Пт мар 06, 2015 23:18:15 --

svv в сообщении #986692 писал(а):

Ну тогда ставьте скобки.

Да и скобки не помогут. Разгильдяйство уж если есть, то его ничем не исправишь.

[Nurzery[Rhymes]]

А как надо поступать в таких случаях, когда во внутреннем интеграле одна из переменных - параметр? Вообще не выносить ее за знак интеграла?

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986699 писал(а):

Вообще не выносить ее за знак интеграла?

Это Ваше личное дело -- выносить или не выносить. Если Вы допускаете путаницу с переменными, то Вам уже ничто не поможет. Как, впрочем, ничто и не навредит (просто потому, что вредить уже нечему).

[Nurzery[Rhymes]]

ewert в сообщении #986704 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986699 писал(а):

Вообще не выносить ее за знак интеграла?

Это Ваше личное дело -- выносить или не выносить. Если Вы допускаете путаницу с переменными, то Вам уже ничто не поможет. Как, впрочем, ничто и не навредит (просто потому, что вредить уже нечему).

Для меня здесь нет путаницы. Я держу в голове, что внешний интеграл применяется ко внутреннему, а выносить я из него могу все что захочу. Мне интересно, допустимо это или нет, или условились преобразовывать кратные интегралы более строго.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986718 писал(а):

Я держу в голове, что внешний интеграл применяется ко внутреннему, а выносить я из него могу все что захочу.

Если Вы держите в голове именно это, то и проблем никаких. Более того, именно такое удержание и подразумевается. Но тогда -- в чём вопрос-то?...

Естественно, в повторных интегралах любая внешняя переменная может быть вынесена за знак внутреннего интеграла (если уж она формально выносится). В этом, собственно, и смысл самого понятия повторного интеграла.

[Nurzery[Rhymes]]

ewert в сообщении #986721 писал(а):

Но тогда -- в чём вопрос-то?...

В том, что в голове одно, а запись можно трактовать по-разному. Потому что если рассматривать ее саму по себе, то там получается произведение интегралов, и одна буква в одной стороне - константа, а в другой - переменная. А в контексте кратного интеграла трактовка уже однозначна.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986725 писал(а):

если рассматривать ее саму по себе, то там получается произведение интегралов,

Так вот не получается, при попытке такого прочтения выходит откровенная безграмотность. И, значит, так прочитать её невозможно.

Вот более грубый пример (но весьма жизненный). Что такое $\left\|\sum\limits_kx_i\vec e_i\right\|^2$ ?... Можно ли это расписать как $\left(\sum\limits_ix_i\vec e_i,\,\sum\limits_ix_i\vec e_i\right)$ ?...

Ну при желании можно всё, красиво жить не запретишь. Только тогда всё, приплыли; это -- тупик. А вот если записать то же самое по-человечески, как $\left(\sum\limits_ix_i\vec e_i,\,\sum\limits_kx_k\vec e_k\right)$, то и проблем никаких.

Вот так же и птички интегралы.

[Henrylee]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986637 писал(а):

.$..=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{d(x+y+1)}{(x+y+1)^2}=...$
...
Я пока что не видел в учебниках внесение под дифференциал функции нескольких переменных. Может быть, такая запись вообще не используется?

Вот такую запись видел:

$$ \int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{d_{\bf y}(x+y+1)}{(x+y+1)^2} $$

[bot]

К чему эти рекбусы-кроксворды? Внос константы здесь под дифференциал нужен ведь только для демонстрации простому крестьянину, как берётся первообразная. Устно внёс, устно взял.

-- Сб мар 14, 2015 16:52:33 --

Тогда уж лучше так (хотя овчинка выделки не стоит):

$$\int\limits_{0}^1\, dx\int\limits_{0}^1\dfrac{dy}{(x+y+1)^2}=\int\limits_{0}^1\, dx\int\limits_{x+1}^{x+2}\dfrac{dz}{z^2}=\ldots $$