потому что сразу не ясно, по какой переменной дифференцируем,
Вообще-то тот факт, что по иксам интегрирование производится снаружи, уже означает, что для внутреннего интеграла они -- константы и, соответственно, что внутреннее интегрирование проводится по игрекам. Там проблема не в этом, а в двусмысленности внутренних пределов интегрирования. Но эту двусмысленность очень легко устранить:

И, между прочим, подобным образом следует поступать всегда, даже и не в двойных интегралах, а в самых что ни на есть однократных.