2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 20:39 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Нахожу такой интеграл: $\iint\limits_{}^{}\frac{dxdy}{(x+y+1)^2}=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{(x+y+1)^2}=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{d(x+y+1)}{(x+y+1)^2}=...=\ln\frac{4}{3}$

Корректно вот так вносить выражение под дифференциал? Мне это кажется неудобным, потому что сразу не ясно, по какой переменной дифференцируем, и приходится напрягать внимание или потом возвращаться к внутреннему интегралу исходного, чтобы вспомнить.

Я пока что не видел в учебниках внесение под дифференциал функции нескольких переменных. Может быть, такая запись вообще не используется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 21:04 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986637 писал(а):
потому что сразу не ясно, по какой переменной дифференцируем,

Вообще-то тот факт, что по иксам интегрирование производится снаружи, уже означает, что для внутреннего интеграла они -- константы и, соответственно, что внутреннее интегрирование проводится по игрекам. Там проблема не в этом, а в двусмысленности внутренних пределов интегрирования. Но эту двусмысленность очень легко устранить:

$=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{y=0}^{1}\frac{d(x+y+1)}{(x+y+1)^2}$

И, между прочим, подобным образом следует поступать всегда, даже и не в двойных интегралах, а в самых что ни на есть однократных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 21:32 
Аватара пользователя


03/11/14

395
А вот так писать можно?

$\iint\limits_{D}^{}x\sin (x+y)dxdy = \int\limits_{0}^{\pi}dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin (x+y) dy = \int\limits_{0}^{\pi}dx \cdot x \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin (x+y)dy$

Здесь во внутреннем интеграле $x$ можно считать константой и вынести за знак интеграла, но тогда получается неоднозначность: внешний интеграл берется от внутреннего или интеграл $\int\limits_{}^{}xdx$ умножается на следующий за ним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:03 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986661 писал(а):
или интеграл $\int\limits_{}^{}xdx$ умножается на следующий за ним
В этом варианте чему равно $x$ во втором интеграле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:05 
Аватара пользователя


03/11/14

395
svv в сообщении #986683 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986661 писал(а):
или интеграл $\int\limits_{}^{}xdx$ умножается на следующий за ним
В этом варианте чему равно $x$ во внутреннем интеграле?

Не понял вопроса. Во внутреннем интеграле мы интегрируем по $y$, а $x$ - константа, параметр и ничему не равен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:13 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Я исправил вопрос.
Т.е. этот $x$ может быть равен чему угодно и не имеет отношения к $x$ в первом интеграле? Ну тогда ставьте скобки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986685 писал(а):
Во внутреннем интеграле мы интегрируем по $y$, а $x$ - константа, параметр и ничему не равен.

Вот как раз это и недопустимо. Когда в одной и той же формуле одна и та же буква в одной стороне -- константа, в другой же некая переменная. А раз недопустима, то и трактовка однозначна.

-- Пт мар 06, 2015 23:18:15 --

svv в сообщении #986692 писал(а):
Ну тогда ставьте скобки.

Да и скобки не помогут. Разгильдяйство уж если есть, то его ничем не исправишь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:22 
Аватара пользователя


03/11/14

395
А как надо поступать в таких случаях, когда во внутреннем интеграле одна из переменных - параметр? Вообще не выносить ее за знак интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986699 писал(а):
Вообще не выносить ее за знак интеграла?

Это Ваше личное дело -- выносить или не выносить. Если Вы допускаете путаницу с переменными, то Вам уже ничто не поможет. Как, впрочем, ничто и не навредит (просто потому, что вредить уже нечему).

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:47 
Аватара пользователя


03/11/14

395
ewert в сообщении #986704 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986699 писал(а):
Вообще не выносить ее за знак интеграла?

Это Ваше личное дело -- выносить или не выносить. Если Вы допускаете путаницу с переменными, то Вам уже ничто не поможет. Как, впрочем, ничто и не навредит (просто потому, что вредить уже нечему).

Для меня здесь нет путаницы. Я держу в голове, что внешний интеграл применяется ко внутреннему, а выносить я из него могу все что захочу. Мне интересно, допустимо это или нет, или условились преобразовывать кратные интегралы более строго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986718 писал(а):
Я держу в голове, что внешний интеграл применяется ко внутреннему, а выносить я из него могу все что захочу.

Если Вы держите в голове именно это, то и проблем никаких. Более того, именно такое удержание и подразумевается. Но тогда -- в чём вопрос-то?...

Естественно, в повторных интегралах любая внешняя переменная может быть вынесена за знак внутреннего интеграла (если уж она формально выносится). В этом, собственно, и смысл самого понятия повторного интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 22:59 
Аватара пользователя


03/11/14

395
ewert в сообщении #986721 писал(а):
Но тогда -- в чём вопрос-то?...

В том, что в голове одно, а запись можно трактовать по-разному. Потому что если рассматривать ее саму по себе, то там получается произведение интегралов, и одна буква в одной стороне - константа, а в другой - переменная. А в контексте кратного интеграла трактовка уже однозначна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение06.03.2015, 23:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986725 писал(а):
если рассматривать ее саму по себе, то там получается произведение интегралов,

Так вот не получается, при попытке такого прочтения выходит откровенная безграмотность. И, значит, так прочитать её невозможно.

Вот более грубый пример (но весьма жизненный). Что такое $\left\|\sum\limits_kx_i\vec e_i\right\|^2$ ?... Можно ли это расписать как $\left(\sum\limits_ix_i\vec e_i,\,\sum\limits_ix_i\vec e_i\right)$ ?...

Ну при желании можно всё, красиво жить не запретишь. Только тогда всё, приплыли; это -- тупик. А вот если записать то же самое по-человечески, как $\left(\sum\limits_ix_i\vec e_i,\,\sum\limits_kx_k\vec e_k\right)$, то и проблем никаких.

Вот так же и птички интегралы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение14.03.2015, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986637 писал(а):
.$..=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{d(x+y+1)}{(x+y+1)^2}=...$
...
Я пока что не видел в учебниках внесение под дифференциал функции нескольких переменных. Может быть, такая запись вообще не используется?

Вот такую запись видел:
$$
\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1}\frac{d_{\bf y}(x+y+1)}{(x+y+1)^2}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойные интегралы, корректность записи
Сообщение14.03.2015, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
К чему эти рекбусы-кроксворды? Внос константы здесь под дифференциал нужен ведь только для демонстрации простому крестьянину, как берётся первообразная. Устно внёс, устно взял.

-- Сб мар 14, 2015 16:52:33 --

Тогда уж лучше так (хотя овчинка выделки не стоит):
$$\int\limits_{0}^1\, dx\int\limits_{0}^1\dfrac{dy}{(x+y+1)^2}=\int\limits_{0}^1\, dx\int\limits_{x+1}^{x+2}\dfrac{dz}{z^2}=\ldots $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group