Почему в теореме Кантора число полагается непротиворечивым?

[bot]

aa_dav в сообщении #986506 писал(а):

Ну, например в мысли "для любого $N$ существует число на единицу большее"

Мысль и в самом деле чрезвычайно простая. Для каждого числа есть большее, а есть число, большее всех?
У каждого человека есть отец, а есть индивид, который всем отец?
Тут всего лишь кванторы переставлены, а как смысл меняется.
Не здесь ли кроется корень Ваших непоняток?
Кантор по любой последовательности действительных чисел строит одно число, отличное от всех членов последовательности и получает противоречие с предположением, что эта последовательность содержит все действительные числа. Натуральное число, отличное от данного, построить просто и так для каждого, но ни одного натурального числа, отличного от всех натуральных, этим же методом и никаким другим не построить.

ЗЫ. Кажется я безнадёжно отстал, пока сочинял ответ уж стока понаписали ..., возможно и отправлять смысла уже нет. С другой и не отправлять смысла тоже нет - пока буду читать, ещё накропают.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986530 писал(а):

А тут получается, что если $A$ _на самом деле_ ложно, то мы доказали всё правильно. Если же $A$ _на самом деле_ истинно, то мы ничего не доказали.

Если бы $A$ было на самом деле истинно, то нам бы не удалось построить число, которого нет в таблице. Раз нам это удалось, значит, оно не истинно.

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986532 писал(а):

Раз нам это удалось

Да не знаем мы удалось нам или нет. Процедура бесконечная, сталкивается ли она с вычёркиванием цифры из самой себя - неведомо.

[iifat]

Таки ТС всё же не понимает, что есть доказательство от противного.
Доказательство от противного на языке математики записывается примерно так: $(A\to\bar A)\to\bar A$. Чуть более человеческим языком: если из некоего $A$ следует его отрицание, $A$ ложно.
Мы взяли $A$: можно взаимно однозначно сопоставить натуральному ряду числа из $(0;1)$.
Вполне корректной процедурой получили действительное число, не сопоставленное никакому натуральному, то бишь, отрицание исходного предположения.
Вывод: исходное предположение (о счётности действительных чисел на отрезке) ложно.
Dixi.

-- 07.03.2015, 01:06 --

aa_dav в сообщении #986533 писал(а):

сталкивается ли она с вычёркиванием цифры из самой себя - неведомо

Что есть, стесняюсь спросить, вычёркивание цифры из самой себя? Плиз, расскажите скорее, а то, не дай бог, во сне приснится...

[aa_dav]

iifat в сообщении #986535 писал(а):

Вполне корректной процедурой получили действительное число

Именно это и ставится под сомнение.

-- 06.03.2015, 18:07 --

iifat в сообщении #986535 писал(а):

Что есть, стесняюсь спросить, вычёркивание цифры из самой себя? Плиз, расскажите скорее, а то, не дай бог, во сне приснится...

Предположим у нас есть 10 цифр. Выберем другую цифру следующим методом - сделаем её отличной от первой. Далее отличной от первой и второй. Далее отличной от первой, второй и третьей. И так далее. Что получилось?

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986533 писал(а):

Да не знаем мы удалось нам или нет. Процедура бесконечная, сталкивается ли она с вычёркиванием цифры из самой себя - неведомо.

Да знаем же. В смысле - знаем настолько достоверно, насколько вообще можно что-то знать о бесконечных конструкциях. Если Вы отрицаете это, то тем самым отрицаете и все вообще действия с действительными числами, а также сами эти числа. Они есть, или нету их? Как же они могут быть? Например, $\pi$? Цифр-то бесконечно, до конца никто не проверял.

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986539 писал(а):

Да знаем же.

Естественно "знаем", если верно то, что в таблице содержатся все числа отрезка, то процедура сводится к "найти такое число, которое не равно самому себе".
Так.
Так.
Мы уже действительно на 10-ый круг заходим. Давайте наверное на сегодня я выйду из дискуссии, обдумаем еще раз что к чему хорошенько, прислушаемся получше к мнению оппонентов, потому что карусель это не выход.

[patzer2097]

не понимаю, почему эта тема еще не в пургатории

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986541 писал(а):

если верно то, что в таблице содержатся все числа отрезка, то процедура сводится к "найти такое число, которое не равно самому себе".

Если.
Но такого, чтобы число не равнялось самому себе, быть не может.
Значит что?
Значит, поворачиваемся назад и смотрим на это "если".

[atlakatl]

Мысль ТС следующая:
Мы нашли - по процедуре Кантора - число, не встречающееся в ряде чисел. Но ряд-то у нас бесконечный! И это число - в бесконечном-то ряду - рано или поздно встретится.
Налицо вполне объяснимый бзик, связанный с понятием бесконечности. Как его преодолеть - вопрос. Дело в методике.

[aa_dav]

atlakatl в сообщении #986546 писал(а):

Мы нашли - по процедуре Кантора - число, не встречающееся в ряде чисел. Но ряд-то у нас бесконечный! И это число - в бесконечном-то ряду - рано или поздно встретится.

Полностью до противоположного наоборот, возникает сомнение что существует число лежащее в основании доказательства.
P.S.
Это и в заголовке отражено прямо.
P.P.S.
Только не поймите неправильно, что я доказываю счётность вещественных. Сомнение оно заключается в полноте доказательства, а не в верности того что оно доказывает.

[Someone]

aa_dav в сообщении #986526 писал(а):

Но если $A$ верно и число содержится в таблице, то мы требуем от числа быть не равным самому себе, что невозможно.

Полученное противоречие означает, что сделанное нами предположение $A$ ложно. Именно оно, поскольку других предположений мы не делали. Поэтому дальнейшие рассуждения, основанные на предположении $A$, лишены смысла: из ложного утверждения следует что угодно.

"Несправедливость" $C$ никак не следует, потому что $C$ — не утверждение, оно не может быть "справедливым" или "не справедливым".

Вообще, я уже писал в предыдущей теме aa_dav, что цитируемое им доказательство не является доказательством от противного. Для сравнения можно взять доказательство из книги Клини, которое я цитировал в одной из старых тем. Оба доказательства одинаковые, не считая несущественных технических деталей, и отличаются тем, что в доказательстве, процитированном aa_dav, в начале доказательства написано "допустим противное, т. е. предположим, что все вещественные числа интервала $(0,1)$ можно занумеровать", а у Клини вместо этого написано "допустим теперь, что $x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots$ — бесконечный перечень или пересчет некоторых, но не обязательно всех, действительных чисел, принадлежащих этому полуинтервалу". (Выделение моё.)
Соответственно, Клини ни о каком противоречии даже не упоминает. Разумеется, если взять доказательство любой теоремы, в начале его приписать фразу "предположим, что теорема неверна", а потом эту теорему доказать, нигде не используя сделанного предположения, то мы получим формальное противоречие, означающее, что сделанное предположение ложно. Почему это надо называть "доказательством от противного"?

patzer2097 в сообщении #986543 писал(а):

не понимаю, почему эта тема еще не в пургатории

Да, топикстартер явно не желает ничего воспринимать.

P.S. Кстати, вот здесь разобраны необходимые определения.

atlakatl в сообщении #986546 писал(а):

Налицо вполне объяснимый бзик, связанный с понятием бесконечности. Как его преодолеть - вопрос. Дело в методике.

По моим наблюдениям, такие бзики никак не преодолеваются. Ввиду нежелания его носителя что-либо "преодолевать".

aa_dav в сообщении #986548 писал(а):

Полностью до противоположного наоборот, возникает сомнение что существует число лежащее в основании доказательства.

Это у Вас от полной безграмотности. Берите хороший учебник математического анализа и тщательно изучайте его с самого начала. Тогда такие "сомнения" не будут "возникать".

[aa_dav]

Someone в сообщении #986549 писал(а):

Полученное противоречие означает, что сделанное нами предположение $A$ ложно.

Полученное противоречие означает, что нет числа не равного самому себе. При чём тут справедливость $A$???

-- 06.03.2015, 18:42 --

На натуральных это же противоречие означало просто то, что искомого числа не существует. Всё. Никаких неисчислимостей из этих вещей не вырастало. Страницу назад на $A$, $B$, $C$ уже как бы обсудили в чём связь и отличие в логической модели.

-- 06.03.2015, 18:44 --

(Оффтоп)

Любого мимо проходящего модератора искренне прошу забанить меня до завтрашнего утра. Пятница... Если я через пару часов залезу в тему с такими темпами, то быть мне забаненным на месяц.

[AGu]

aa_dav в сообщении #986553 писал(а):

При чём тут справедливость $A$???

Увы, чтением книжек по анализу тут не ограничишься. Придется еще освоить основы математической логики (хотя бы в объеме старших классов школы).

Нет, ну правда, aa_dav, чем Вам не угодила математика? Зачем Вы к ней привязались? Она без Вас так хорошо развивалась. Уверен, что и Вы без нее — тоже прекрасно себя чувствовали. Стоит ли искушать судьбу? (Это я не в качестве наезда, это я искренне.)

[iifat]

aa_dav в сообщении #986537 писал(а):

Далее отличной от первой и второй

Как бы это повежливее выяснить, умеете ли вы читать? В доказательстве Кантора на каждом шаге выбирается цифра, отличная от одной-единственной (там есть ещё некая тонкость, но не суть). Никаких «от первой и второй» там нет.

-- 07.03.2015, 01:56 --

aa_dav в сообщении #986553 писал(а):

На натуральных это же противоречие означало просто то, что искомого числа не существует

Это не это же противоречие. То, что вы проделали на натуральных — бессмысленная болтовня, которая ничего не доказывает. Извините эту жизнь, которая различает два этих понятия.

(Оффтоп)

AGu в сообщении #986554 писал(а):

Уверен, что и Вы без нее — тоже прекрасно себя чувствовали

Проблема как раз в том, что ТС и в математике прекрасно себя чувствует. Та же проблема, что и с алкоголем и наркотиками, увы.