2 задачи на шаровой сегмент.

[integral2009]

1) В основание шарового сегмента вписан прямоугольный треугольник, у которого площадь равна $S$, а острый угол равен $\alpha$. Найти высоту $h$ сегмента, если его дуге в осевом сечении соответствует центральный угол, равный $\beta$.

верный ли рисунок?



Пусть катеты прямоугольного треугольника $a$ и $b$, а гипотенуза (равная диаметру основания сегмента) равна $2r$.

Тогда площадь треугольника равна $S=0,5ab=0,5\cdot 4r^2\sin\alpha\cos\alpha=r^2\sin(2\alpha)$ и получаем $r^2=\dfrac{S}{\sin(2\alpha)}$

Пусть точка пересечения высоты сегмента и поверхности шара обозначается $M$, тогда угол $AMB$ вписанный, который опирается на дугу $360^o-\beta$, тогда угол $\angle {MBA}=0,25\beta$. Тогда $\tg(0,25\beta)=\dfrac{h}{r}$, получаем, что $h=r\tg(0,25\beta)\cdot\sqrt{\dfrac{S}{\sin(2\alpha)}}$

Верно это или нет?

2) На шаровой поверхности радиуса $R$ лежат все вершины равнобочной трапеции, у которой меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен $\alpha$. Найти расстояние $h$ от центра шара до плоскости трапеции, если большее основание трапеции равно радиусу шара.



Все вершины трапеции находятся на расстоянии $R$ от центра шара, потому основание $H$ перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость трапеции будет равноудалено от вершин трапеции, а значит $H$ -- центр окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Пусть $a$ -- боковая сторона трапеции. Из соотношения $tg\alpha=\dfrac{2a}{R-a}$ можно найти $a=\dfrac{R\tg\alpha}{2+\tg\alpha}$.

$d=\sqrt{R^2+0,25(R-a)^2}$

Пусть $R_1$ - радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Окружность описанная вокруг трапеции будет совпадать с окружностью, описанной вокруг треугольника со сторонами $a,d,R$, значит $R_1=\dfrac{aRd}{4S}=\dfrac{aRd}{2aR\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{R^2+0,25(R-a)^2}}{2\sin\alpha}$.

Тогда $h=\sqrt{R^2-R_1^2}$. Верно?

[integral2009]

Во второй задаче хорошенько ошибся, исправляю

2) На шаровой поверхности радиуса $R$ лежат все вершины равнобочной трапеции, у которой меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен $\alpha$. Найти расстояние $h$ от центра шара до плоскости трапеции, если большее основание трапеции равно радиусу шара.



Все вершины трапеции находятся на расстоянии $R$ от центра шара, потому основание $H$ перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость трапеции будет равноудалено от вершин трапеции, а значит $H$ -- центр окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Пусть $a$ -- боковая сторона трапеции. Из соотношения $\sin\alpha=\dfrac{2a}{R-a}$ можно найти $a$.

$(R-a)\sin\alpha=2a$, тогда $R\sin\alpha-a\sin\alpha=2a$, получаем $R\sin\alpha=a(2+\sin\alpha)$, окончательно $a=\dfrac{R\sin\alpha}{2+\sin\alpha}$

Пусть $x$ -- высота трапеции. $x^2=a^2-0,25(R-a)^2$.

$d=\sqrt{(R-0,5(R-a))^2+x^2}=\sqrt{(R-0,5(R-a))^2+a^2-0,25(R-a)^2}$

Пусть $R_1$ - радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Окружность описанная вокруг трапеции будет совпадать с окружностью, описанной вокруг треугольника со сторонами $a,d,R$, значит $R_1=\dfrac{aRd}{4S}=\dfrac{aRd}{2aR\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{(R-0,5(R-a))^2+a^2-0,25(R-a)^2}}{2\sin\alpha}$.

Тогда $h=\sqrt{R^2-R_1^2}$. Верно?

Самый главный вопрос -- идеи решения задач верны или нет? С арифметикой сам разберусь.

[integral2009]

То есть у меня написана чушь или просто задачи неинтересны?

[ewert]

integral2009 в сообщении #986226 писал(а):

получаем, что $h=r\tg(0,25\beta)\cdot\sqrt{\dfrac{S}{\sin(2\alpha)}}$

Почти верно (одна буковка недостёрта).

integral2009 в сообщении #986378 писал(а):

Тогда $h=\sqrt{R^2-R_1^2}$. Верно?

Трудно сказать. Где ответ-то?...

В любом случае как-то слишком долго. Вам ведь что нужно-то? Фактически -- нужен радиус $r$ сечения сферы той плоскостью, в которой лежит трапеция. Это -- вполне себе плоская подзадача, и если $b$ -- большее основание, то достаточно очевидно, что $\frac{b}2=r\sin\frac{3\alpha}2$. Теперь учитываем, что по условию $b=R$ и вытаскиваем $h$ из $R$ и $r$ по теореме Пифагора.

[integral2009]

ewert в сообщении #986402 писал(а):

достаточно очевидно, что $\frac{b}2=r\sin\frac{3\alpha}2$.

Спасибо, только вот это не очевидно, остальное понятно. Откуда это соотношение следует? (обозначения в нем понятны)

[ewert]

integral2009 в сообщении #986414 писал(а):

Откуда это соотношение следует?

Там три одинаковых дуги. Острый угол трапеции опирается на две их них, и он -- вписанный. А центральный, опирающийся на большее основание, равен всем трём дугам. И потом его надо тоже поделить пополам, чтобы перейти от радиуса к полуоснованию. Итого -- три вторых и выйдет.

[integral2009]

ewert в сообщении #986482 писал(а):

integral2009 в сообщении #986414 писал(а):

Откуда это соотношение следует?

Там три одинаковых дуги. Острый угол трапеции опирается на две их них, и он -- вписанный. А центральный, опирающийся на большее основание, равен всем трём дугам. И потом его надо тоже поделить пополам, чтобы перейти от радиуса к полуоснованию. Итого -- три вторых и выйдет.

Спасибо, понятно!