2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение06.03.2015, 01:45 


25/10/09
832
1) В основание шарового сегмента вписан прямоугольный треугольник, у которого площадь равна $S$, а острый угол равен $\alpha$. Найти высоту $h$ сегмента, если его дуге в осевом сечении соответствует центральный угол, равный $\beta$.

верный ли рисунок?

Изображение

Пусть катеты прямоугольного треугольника $a$ и $b$, а гипотенуза (равная диаметру основания сегмента) равна $2r$.

Тогда площадь треугольника равна $S=0,5ab=0,5\cdot 4r^2\sin\alpha\cos\alpha=r^2\sin(2\alpha)$ и получаем $r^2=\dfrac{S}{\sin(2\alpha)}$

Пусть точка пересечения высоты сегмента и поверхности шара обозначается $M$, тогда угол $AMB$ вписанный, который опирается на дугу $360^o-\beta$, тогда угол $\angle {MBA}=0,25\beta$. Тогда $\tg(0,25\beta)=\dfrac{h}{r}$, получаем, что $h=r\tg(0,25\beta)\cdot\sqrt{\dfrac{S}{\sin(2\alpha)}}$

Верно это или нет?

2) На шаровой поверхности радиуса $R$ лежат все вершины равнобочной трапеции, у которой меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен $\alpha$. Найти расстояние $h$ от центра шара до плоскости трапеции, если большее основание трапеции равно радиусу шара.

Изображение

Все вершины трапеции находятся на расстоянии $R$ от центра шара, потому основание $H$ перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость трапеции будет равноудалено от вершин трапеции, а значит $H$ -- центр окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Пусть $a$ -- боковая сторона трапеции. Из соотношения $tg\alpha=\dfrac{2a}{R-a}$ можно найти $a=\dfrac{R\tg\alpha}{2+\tg\alpha}$.

$d=\sqrt{R^2+0,25(R-a)^2}$

Пусть $R_1$ - радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Окружность описанная вокруг трапеции будет совпадать с окружностью, описанной вокруг треугольника со сторонами $a,d,R$, значит $R_1=\dfrac{aRd}{4S}=\dfrac{aRd}{2aR\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{R^2+0,25(R-a)^2}}{2\sin\alpha}$.

Тогда $h=\sqrt{R^2-R_1^2}$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение06.03.2015, 11:04 


25/10/09
832
Во второй задаче хорошенько ошибся, исправляю

2) На шаровой поверхности радиуса $R$ лежат все вершины равнобочной трапеции, у которой меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен $\alpha$. Найти расстояние $h$ от центра шара до плоскости трапеции, если большее основание трапеции равно радиусу шара.

Изображение

Все вершины трапеции находятся на расстоянии $R$ от центра шара, потому основание $H$ перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость трапеции будет равноудалено от вершин трапеции, а значит $H$ -- центр окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Пусть $a$ -- боковая сторона трапеции. Из соотношения $\sin\alpha=\dfrac{2a}{R-a}$ можно найти $a$.

$(R-a)\sin\alpha=2a$, тогда $R\sin\alpha-a\sin\alpha=2a$, получаем $R\sin\alpha=a(2+\sin\alpha)$, окончательно $a=\dfrac{R\sin\alpha}{2+\sin\alpha}$

Пусть $x$ -- высота трапеции. $x^2=a^2-0,25(R-a)^2$.

$d=\sqrt{(R-0,5(R-a))^2+x^2}=\sqrt{(R-0,5(R-a))^2+a^2-0,25(R-a)^2}$

Пусть $R_1$ - радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции. Окружность описанная вокруг трапеции будет совпадать с окружностью, описанной вокруг треугольника со сторонами $a,d,R$, значит $R_1=\dfrac{aRd}{4S}=\dfrac{aRd}{2aR\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{(R-0,5(R-a))^2+a^2-0,25(R-a)^2}}{2\sin\alpha}$.

Тогда $h=\sqrt{R^2-R_1^2}$. Верно?

Самый главный вопрос -- идеи решения задач верны или нет? С арифметикой сам разберусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение06.03.2015, 12:48 


25/10/09
832
То есть у меня написана чушь или просто задачи неинтересны?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение06.03.2015, 13:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
integral2009 в сообщении #986226 писал(а):
получаем, что $h=r\tg(0,25\beta)\cdot\sqrt{\dfrac{S}{\sin(2\alpha)}}$

Почти верно (одна буковка недостёрта).

integral2009 в сообщении #986378 писал(а):
Тогда $h=\sqrt{R^2-R_1^2}$. Верно?

Трудно сказать. Где ответ-то?...

В любом случае как-то слишком долго. Вам ведь что нужно-то? Фактически -- нужен радиус $r$ сечения сферы той плоскостью, в которой лежит трапеция. Это -- вполне себе плоская подзадача, и если $b$ -- большее основание, то достаточно очевидно, что $\frac{b}2=r\sin\frac{3\alpha}2$. Теперь учитываем, что по условию $b=R$ и вытаскиваем $h$ из $R$ и $r$ по теореме Пифагора.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение06.03.2015, 14:10 


25/10/09
832
ewert в сообщении #986402 писал(а):
достаточно очевидно, что $\frac{b}2=r\sin\frac{3\alpha}2$.

Спасибо, только вот это не очевидно, остальное понятно. Откуда это соотношение следует? (обозначения в нем понятны)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение06.03.2015, 15:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
integral2009 в сообщении #986414 писал(а):
Откуда это соотношение следует?

Там три одинаковых дуги. Острый угол трапеции опирается на две их них, и он -- вписанный. А центральный, опирающийся на большее основание, равен всем трём дугам. И потом его надо тоже поделить пополам, чтобы перейти от радиуса к полуоснованию. Итого -- три вторых и выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи на шаровой сегмент.
Сообщение07.03.2015, 00:22 


25/10/09
832
ewert в сообщении #986482 писал(а):
integral2009 в сообщении #986414 писал(а):
Откуда это соотношение следует?

Там три одинаковых дуги. Острый угол трапеции опирается на две их них, и он -- вписанный. А центральный, опирающийся на большее основание, равен всем трём дугам. И потом его надо тоже поделить пополам, чтобы перейти от радиуса к полуоснованию. Итого -- три вторых и выйдет.

Спасибо, понятно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group