Гладкое семейство кососимметричных билинейных форм

[GDTD]

Здравствуйте. При чтении книги "Введение в симплектическую топологию" (Саламон, Макдафф) возник такой вопрос. В следствии 2.4 (стр. 43) говорится, что если $\omega_t$ - гладкое семейство невырожденных кососимметричных билинейных форм на $\mathbb R^{2n}$, зависящих от $t$, то существует гладкое семейство таких матриц $\Psi_t\in\mathbb R^{2n\times 2n}$, что $\Psi_t^*\omega_t=\omega_0$ (по определению $\Psi_t^*\omega_t(u,v)=\omega_t(\Psi_t(u),\Psi_t(v))$). Здесь $\omega_0$ - кососимметрическая форма с матрицей

$$ \begin{pmatrix} 0 & E_n\\ -E_n & 0 \end{pmatrix}. $$

Иными словами, здесь подразумевается, что найдется базис $S^t$, коэффициенты разложения которого в некотором фиксированном базисе $S$ гладко зависят от $t$ и форма $\omega_t$ в базисе $S^t$ имеет канонический вид.

В доказательстве ссылаются на результат предыдущей теоремы (что для симплектического векторого пространства $(V,\omega)$ четной размерности всегда найдется канонический базис) и на процесс Грама-Шмидта. Мне непонятно, где здесь использовать процесс Грама-Шмидта. Мне известен только процесс ортогонализации Грама-Шмидта для евклидовых пространств, но у нас в условии пространство симплектическое. Можно было бы "подогнать" эту процедуру для симплектического пространства, действуя индуктивно. Фиксируем канонический базис $S=\{u_1^0,\ldots,u_n^0,v_1^0,\ldots,v_n^0\}$ для $\omega_0$ и положим $u_1^t=u_1^0,\ v_1^t=v_1^0$. Координаты векторов $u_1^t,v_1^t$ в базисе $S$, очевидно, гладко зависят от $t$ и в некоторой окрестности точки $t=0$ выполнено неравенство $\omega_t(u_1^t,v_1^t)=\omega_t(u_1,v_1)>0$. Далее полагаем, что найдена линейно независимая система векторов $S_k^t=\{u_1^t,\ldots,u_k^t,v_1^t,\ldots,v_k^t\}$, координаты которых в базисе $S$ гладко зависят от $t$ и

$$\omega_t(u_i^t,u_j^t)=\omega_t(v_i^t,v_j^t)=0,\eqno (1)$$

$$\omega_t(u_p^t,v_q^t)=0\eqno (2)$$

при $p\ne q$,

$$\omega_t(u_p^t,v_p^t)>0\eqno (3)$$

в некоторой окрестности $t=0$. Если обозначить $S_k=\{u_1^0,\ldots,u_k^0,v_1^0,\ldots,v_k^0\}$, то получим также $S_k^0=S_k$. Тогда найдется такая окрестность точки $t=0$, что векторы

$$u_{k+1}^t=u_{k+1}^0+\frac{\omega_t(v_1^t,u_{k+1}^0)}{\omega_t(u_1^t,v_1^t)}u_1^t-\frac{\omega_t(u_1^t,u_{k+1}^0)}{\omega_t(u_1^t,v_1^t)}v_1^t+\ldots+\frac{\omega_t(v_k^t,u_{k+1}^0)}{\omega_t(u_k^t,v_k^t)}u_1^t-\frac{\omega_t(u_k^t,u_{k+1}^0)}{\omega_t(u_k^t,v_k^t)}v_1^t,$$

$$v_{k+1}^t=v_{k+1}^0+\frac{\omega_t(v_1^t,v_{k+1}^0)}{\omega_t(u_1^t,v_1^t)}u_1^t-\frac{\omega_t(u_1^t,v_{k+1}^0)}{\omega_t(u_1^t,v_1^t)}v_1^t+\ldots+\frac{\omega_t(v_k^t,v_{k+1}^0)}{\omega_t(u_k^t,v_k^t)}u_1^t-\frac{\omega_t(u_k^t,v_{k+1}^0)}{\omega_t(u_k^t,v_k^t)}v_1^t$$

удовлетворяют (1), (2) и (3) и $S_{k+1}^0=S_{k+1}$. Гладкость координат очевидна.

По индукции мы дойдем до базиса $S_n^t$. Разделив вектор $v_i^t$ на $\omega_t(u_i^t,v_i^t)$, получим искомый базис $S^t$. Однако по построению он определен только в окрестности $t=0$. Но в книге нигде не оговаривалось, что есть какие-то ограничения на $t$ (напротив, там сказано "для любого $t$"). У меня вопрос, что же все-таки имел ввиду автор и как построить требуемый базис? Спасибо.

[svv]

Да, эта процедура и имелась в виду.

Пара замечаний.
1) Выбор $u_1^t=u_1^0$ и $v_1^t=v_1^0$ не обеспечивает $\omega_t(u_1^t, v_1^t) = 1$.
То же касается и следующих шагов. На $k+1$-м шаге Вы достигаете косоортогональности $u^t_{k+1}$ (и аналогично $v^t_{k+1}$) с векторами всех меньших индексов, но не обеспечиваете $\omega_t(u_{k+1}^t, v_{k+1}^t)=1$.
Впрочем, похоже, «косоортонормированности» Вы и не добиваетесь.

2) Описка — после многоточий векторы, стоящие после дробей, должны иметь индекс $k$, а не $1$.

Как бы я записал процесс в своих обозначениях. Пусть
$\langle a, b \rangle :=\omega_t(a, b)$
$p_i=p^0_i, \quad P_i=p^t_i$
$q_i=q^0_i, \quad Q_i=q^t_i$
Тогда

$$P_k=p_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1} \langle p_k, Q_i \rangle P_i + \sum\limits_{i=1}^{k-1} \langle p_k, P_i \rangle Q_i$$

$$\tilde Q_k=q_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1} \langle q_k, Q_i \rangle P_i + \sum\limits_{i=1}^{k-1} \langle q_k, P_i \rangle Q_i$$

$$Q_k=\frac{\tilde Q_k}{\langle P_k, \tilde Q_k \rangle}$$

Последняя формула (нормировка) гарантирует $\langle P_k, Q_k \rangle=1$ и делает излишними дроби в остальных местах. При $k=1$ суммы по определению равны нулю.

Процессу Грама-Шмидта нужна билинейная форма, а будет она симметричной $(,)$ или кососимметричной $\langle,\rangle$, для алгоритма большого значения не имеет.

GDTD в сообщении #984518 писал(а):

По индукции мы дойдем до базиса $S_n^t$. Разделив вектор $v_i^t$ на $\omega_t(u_i^t,v_i^t)$, получим искомый базис $S^t$. Однако по построению он определен только в окрестности $t=0$. Но в книге нигде не оговаривалось, что есть какие-то ограничения на $t$ (напротив, там сказано "для любого $t$").

Да, всё закончится крахом, если при данном $t$ один из знаменателей обратится в нуль. Этим «страдает» и Ваш вариант, и мой. Надо подумать.

Возможно, в этом случае надо выбрать некоторое $t_0$, для которого базис строится успешно, а для бОльших $t$
$\bullet$ брать за основу базис, построенный для $t_0$;
$\bullet$ брать в качестве «таких же» не $u_1, v_1$, а векторы с каким-то другим индексом.
Вопрос, насколько при этом нарушится гладкость в $t=t_0$ и какая вообще степень гладкости Вам нужна.

[svv]

GDTD в сообщении #984518 писал(а):

Разделив вектор $v_i^t$ на $\omega_t(u_i^t,v_i^t)$, получим искомый базис $S^t$.

Только сейчас заметил. Теперь понятно, почему раньше не нормировали.

[GDTD]

svv в сообщении #984909 писал(а):

2) Описка — после многоточий векторы, стоящие после дробей, должны иметь индекс $k$, а не $1$.

Спасибо за замечание. К сожалению, не нашел, как тут редактировать свое сообщение, чтобы исправить.

Процесс вроде верно построен. Например, для матрицы

$$ W=\begin{pmatrix} 0 & t & t+1 & \frac{t}{2}\\ -t & 0 & -t & 1-t\\ -t-1 & t & 0 & -\frac{t}{2}\\ -\frac{t}{2} & t-1 & \frac{t}{2} & 0 \end{pmatrix} $$

формы $\omega_t$ (определитель $W$ равен $1$) процесс дает

$$u_1^t=u_1^0,$$

$$v_1^t=\frac{1}{t+1}v_1^0,$$

$$u_2^t=\frac{t}{t+1}u_1^0+u_2^0-\frac{t}{t+1}v_1^0,$$

$$v_2^t=-\frac{t}{2}u_1^0-\frac{t}{2}v_1^0+(t+1)v_2^0.$$

То есть матрица перехода есть

$$ C=\begin{pmatrix} 1 & \frac{t}{t+1} & 0 & -\frac{t}{2}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{t}{t+1} & \frac{1}{t+1} & -\frac{t}{2}\\ 0 & 0 & 0 & t+1 \end{pmatrix} $$

и тривиально проверяется, что

$$C^TWC=\begin{pmatrix} 0 & E_n\\ -E_n & 0 \end{pmatrix}. $$

В этом примере видно, что при $t=-1$ возникает особенность. Но как построить базис для любого $t$, у меня нет идей. Автор очень кратко пишет, по-видимому полагая, что это следствие очевидно.

[svv]

А если начать с $u_2^t=u_2^0$, $v_2^t=\frac{v_2^0}{1-t}$, то мы получим другую матрицу перехода, а именно

$$C=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-\frac t{2(1-t)}&1&\frac t{2}&0\\0&0&1-t&0\\\frac t{1-t}&0&t&\frac 1{1-t}\end{pmatrix}$$

У неё особенность уже при $t=1$, а в остальных точках она так же хорошо справляется с обязанностями, как и Ваша.

[GDTD]

svv в сообщении #985339 писал(а):

А если начать с $u_2^t=u_2^0$, $v_2^t=\frac{v_2^0}{1-t}$, то мы получим другую матрицу перехода, а именно

$$C=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-\frac t{2(1-t)}&1&\frac t{2}&0\\0&0&1-t&0\\\frac t{1-t}&0&t&\frac 1{1-t}\end{pmatrix}$$

У неё особенность уже при $t=1$, а в остальных точках она так же хорошо справляется с обязанностями, как и Ваша.

То есть при $t>0$ можно положить мою матрицу перехода, а при $t<0$ - Вашу, тогда координаты базиса кусочно линейны. Над общим случаем придется думать дальше

[GDTD]

Математики мне подсказали, что, как вариант, можно воспользоваться разбиением единицы. Долго уже бьюсь и не понимаю, как тут применить разбиение единицы, чтоб соблюдались условия (1),(2) и (3)? Такое ощущение, что я что-то очевидное не вижу