Да, эта процедура и имелась в виду.
Пара замечаний.
1) Выбор

и

не обеспечивает

.
То же касается и следующих шагов. На

-м шаге Вы достигаете косоортогональности

(и аналогично

) с векторами всех меньших индексов, но не обеспечиваете

.
Впрочем, похоже, «косоортонормированности» Вы и не добиваетесь.
2) Описка — после многоточий векторы, стоящие после дробей, должны иметь индекс

, а не

.
Как бы я записал процесс в своих обозначениях. Пусть



Тогда



Последняя формула (нормировка) гарантирует

и делает излишними дроби в остальных местах. При

суммы по определению равны нулю.
Процессу Грама-Шмидта нужна билинейная форма, а будет она симметричной

или кососимметричной

, для алгоритма большого значения не имеет.
По индукции мы дойдем до базиса

. Разделив вектор

на

, получим искомый базис

. Однако по построению он определен только в окрестности

. Но в книге нигде не оговаривалось, что есть какие-то ограничения на

(напротив, там сказано "для любого

").
Да, всё закончится крахом, если при данном

один из знаменателей обратится в нуль. Этим «страдает» и Ваш вариант, и мой. Надо подумать.
Возможно, в этом случае надо выбрать некоторое

, для которого базис строится успешно, а для бОльших


брать за основу базис, построенный для

;

брать в качестве «таких же» не

, а векторы с каким-то другим индексом.
Вопрос, насколько при этом нарушится гладкость в

и какая вообще степень гладкости Вам нужна.