Нильрадикал некоммутативного кольца

[Braga]

У меня в учебнике определен как пересечение всех простых идеалов кольца. Так вот, есть дальше теорема, в которой говорится, что каждый элемент нильрадикала - нильпотентный, и доказывается это очень невнятно, потому что ссылаются на теорему для коммутативных колец. Самому же мне не получилось доказать. Там это объясняется так:
От противного.Пусть $x \in \sqrt{R}$ и $x$ не нильпотентный. Тогда $\lbrace x, x^2, ... \rbrace$ -замкнутое относительно умножения множество, для которого выполняется теорема, говорящая, что "для любого замкнутого относительно умножения множества(в коммутативном кольце), которое не содержит 0, существует простой идеал, имеющий с этим множеством нулевое пересечени". Вот здесь и нестыковка. Если повторить рассуждения, с помощью которых доказывается существование такого простого идеала, то там используется предположение коммутативности и выходит, что применить её нельзя. А как доказать иначе?

[AV_77]

Вы бы привели доказательство, на которое ссылаетесь.

Как-то так. Пусть $X = \{ x, x^2, \ldots \}$ --- наше множество, замкнутое относительно умножения и $P$ --- максимальный идеал, не пересекающийся с ним. Пусть $a, b \in R$ --- произвольные элементы, не лежащие в $P$, то есть $RaR, RbR \not\subseteq P$. Тогда $X \cap (P + RaR)$ и $X \cap (P + RbR)$ не пусты. Пусть $x^m \in P + RaR$ и $x^n \in P + RbR$. Тогда
$r^{m+n} \in (P + RaR)(P + RbR) = P + (RaR)(RbR)$
Если теперь $(RaR)(RbR) \subseteq P$, то $r^{m+n} \in P$, что противоречит предположению. Значит, $(RaR)(RbR) \not\subseteq P$ и $P$ --- простой идеал.

[Braga]

Вот, именно то самое. Но здесь мне не ясен момент, распишем поэлементно:
$x^m=p+r_1 a r_2, x^n=p'+r'_1 b r'_2$, перемножив их, получим
$x^{n+m}=pp'+p \cdot ...+p' \cdot ...+r_1 a r_2 r'_1 b r'_2$. Но так как это некоммутативное кольцо, то $r_1 a r_2 r'_1 b r'_2 \neq r_1 r_2 ab r'_1 r'_2$

-- 05.03.2015, 23:19 --

Отменяю последнее сообщение спасибо


В вашем доказательстве лучше выбрать не элементы $a$ и $b$, а некоторые случайные идеалы $I$ и $J$, которые не являются подидеалами Р