2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нильрадикал некоммутативного кольца
Сообщение05.03.2015, 21:28 


14/01/14
85
У меня в учебнике определен как пересечение всех простых идеалов кольца. Так вот, есть дальше теорема, в которой говорится, что каждый элемент нильрадикала - нильпотентный, и доказывается это очень невнятно, потому что ссылаются на теорему для коммутативных колец. Самому же мне не получилось доказать. Там это объясняется так:
От противного.Пусть $x \in \sqrt{R}$ и $x$ не нильпотентный. Тогда $\lbrace x, x^2, ... \rbrace$ -замкнутое относительно умножения множество, для которого выполняется теорема, говорящая, что "для любого замкнутого относительно умножения множества(в коммутативном кольце), которое не содержит 0, существует простой идеал, имеющий с этим множеством нулевое пересечени". Вот здесь и нестыковка. Если повторить рассуждения, с помощью которых доказывается существование такого простого идеала, то там используется предположение коммутативности и выходит, что применить её нельзя. А как доказать иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильрадикал некоммутативного кольца
Сообщение05.03.2015, 22:00 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
Вы бы привели доказательство, на которое ссылаетесь.

Как-то так. Пусть $X = \{ x, x^2, \ldots \}$ --- наше множество, замкнутое относительно умножения и $P$ --- максимальный идеал, не пересекающийся с ним. Пусть $a, b \in R$ --- произвольные элементы, не лежащие в $P$, то есть $RaR, RbR \not\subseteq P$. Тогда $X \cap (P + RaR)$ и $X \cap (P + RbR)$ не пусты. Пусть $x^m \in P + RaR$ и $x^n \in P + RbR$. Тогда
$r^{m+n} \in (P + RaR)(P + RbR) = P + (RaR)(RbR)$
Если теперь $(RaR)(RbR) \subseteq P$, то $r^{m+n} \in P$, что противоречит предположению. Значит, $(RaR)(RbR) \not\subseteq P$ и $P$ --- простой идеал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильрадикал некоммутативного кольца
Сообщение05.03.2015, 22:17 


14/01/14
85
Вот, именно то самое. Но здесь мне не ясен момент, распишем поэлементно:
$x^m=p+r_1 a r_2, x^n=p'+r'_1 b r'_2$, перемножив их, получим
$x^{n+m}=pp'+p \cdot ...+p' \cdot ...+r_1 a r_2 r'_1 b r'_2$. Но так как это некоммутативное кольцо, то $r_1 a r_2 r'_1 b r'_2 \neq r_1 r_2 ab r'_1 r'_2$

-- 05.03.2015, 23:19 --

Отменяю последнее сообщение :-) спасибо


В вашем доказательстве лучше выбрать не элементы $a$ и $b$, а некоторые случайные идеалы $I$ и $J$, которые не являются подидеалами Р

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group