Конечное кольцо слишком маленькое

[Nurzery[Rhymes]]

Решил построить конечное кольцо многочленов, чтобы поискать в нем идеалы, но кольцо оказалось очень маленьким. Я не понимаю причину этого. Я строил кольцо $F_2 [x] / (x^4 + x^2 + x)$. Равенство для вычислений в этом кольце: $\alpha ^4 = \alpha ^2 + \alpha$. Степень многочлена равна 4, поэтмоу кольцо содержит $2^4 = 16$ элементов.

Нахожу степени образующего элемента:

$\alpha ^4 = \alpha ^2 + \alpha$

$\alpha ^5 = \alpha ^3 + \alpha ^2$

$\alpha ^6 = \alpha ^4 + \alpha ^3 = \alpha ^3 + \alpha ^2 + \alpha$

$\alpha ^7 = \alpha ^4 + \alpha ^3 + \alpha ^2 = \alpha ^3 + \alpha$

$\alpha ^8 = \alpha ^4 + \alpha ^2 = \alpha$

$\alpha ^9 = \alpha ^2$

$\alpha ^ {10} = \alpha ^3$

$\alpha ^ {11} = \alpha ^4 = \alpha ^2 + \alpha$

Элементы начали повторяться, хотя должно быть 16 уникальных элементов. Почему так?

[AV_77]

А почему вы решили, что должно быть 16 уникальных? Это не может быть даже, если бы ваше кольцо было полем.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #985740 писал(а):

А почему вы решили, что должно быть 16 уникальных? Это не может быть даже, если бы ваше кольцо было полем.

Только для поля верно, что число его элементов вычисляется так, как я это сделал?
Почему этого не могло быть даже в случае с полем? Ноль, единица и еще 14 многочленов. Элементов столько, сколько существует перестановок из 2 элементов по 4.

[AV_77]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):

Почему этого не могло быть даже в случае с полем? Ноль, единица и еще 14 многочленов.

Это, конечно, верно. Однако ноль не может быть степенью непутевого элемента (в поле). Так что максимум различных степеней будет 15. И то не всегда. Корень порождающего многочлена будет порождать мультипликативную группу только в том случае, когда этот многочлен примитивен.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #985746 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):

Почему этого не могло быть даже в случае с полем? Ноль, единица и еще 14 многочленов.

Это, конечно, верно. Однако ноль не может быть степенью ненулевого элемента. Так что максимум различных степеней будет 15. И то не всегда. Корень порождающего многочлена будет порождать мультипликативную группу только в том случае, когда этот многочлен примитивен.

Значит, я построил только мультипликативную группу, а делители нуля мне получить не удастся так легко? И тем более не получится составить для них таблицу индексов для удобного и быстрого умножения? Тогда как можно построить конечное кольцо? Можно выписать все комбинации коэффициентов типа 0110 и записать их как многочлены, но все равно таблицы индексов-то нет...

[AV_77]

Конкретно в вашем кольце все многочлены, у которых свободный член нулевой, являются делителями нуля, так как выполняется равенство $\alpha (1 + \alpha + \alpha^3) = 0$.

PS Ваше кольцо изоморфно $\mathbb{F}_2[x] / (x) \times \mathbb{F}_2[x] / (x^3 + x + 1) \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_8$.

[VAL]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):

Элементов столько, сколько существует перестановок из 2 элементов по 4.

А что это такое?! Может, все-таки, размещений с повторениями?

По существу задачи:
Каждый элемент однозначно представляется остатком от деления на полином 4-й степени.
Так что их действительно 16.
Складываются остатки тривиально.
А при умножении нужно заменять произведение остатков его остатком от деления на полином $x^4+x^2+x$. Для такой замены можно делить уголком, а можно пользоваться выписанными у Вас формулами понижения степени.
При желании можно выписать и полную таблицу умножения.

[Nurzery[Rhymes]]

VAL в сообщении #985827 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):

Элементов столько, сколько существует перестановок из 2 элементов по 4.

А что это такое?! Может, все-таки, размещений с повторениями?

Да, вы меня верно поправили.

Про то, как образуются элементы этого кольца, я знаю. Мне просто нужна была таблица индексов, чтобы вычисления проводить элементарно складывая степени образующего элемента, а не делить уголком. Может быть, посоветуете, какое кольцо взять, чтобы прочувствовать операции над идеалами в нем? Хотелось бы полиномиальное, но похоже, придется взять конечное числовое поле $Z_m$.

[AV_77]

Для умножения с использованием таблицы индексов берите конечное поле, например $\mathbb{F}_2[x] / (x^3 + x + 1)$. А какая связь у таблицы индексов с операциями над идеалами? И какие операции вы хотите "почувствовать"?

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #986117 писал(а):

Для умножения с использованием таблицы индексов берите конечное поле, например $\mathbb{F}_2[x] / (x^3 + x + 1)$.

В поле все идеалы тривиальны.

Цитата:

А какая связь у таблицы индексов с операциями над идеалами? И какие операции вы хотите "почувствовать"?

Вычислять легче, делить в столбик я замучаюсь.
Все те операции, о которых говорится в любом учебнике по коммутативной алгебре - сложение, умножение, объединение, пересечение. Хочу проследить, как идеалы вкладываются друг в друга, а то одна теория как-то не очень.

[Руст]

Cразу видно два делителя нуля $\alpha (\alpa^3+\alpha +1)=0$.
Идеалы из 0, порожденные этими делителями нуля и все кольцо.
Порожденное первым делителем нуля вы фактически нашли.

[AV_77]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986126 писал(а):

В поле все идеалы тривиальны.

Зато таблицу индексов можно использовать. В произвольном кольце так хорошо не получится --- не существует порождающего для множества ненулевых элементов кольца.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986126 писал(а):

Все те операции, о которых говорится в любом учебнике по коммутативной алгебре - сложение, умножение, объединение, пересечение. Хочу проследить, как идеалы вкладываются друг в друга, а то одна теория как-то не очень.

А чем вас кольцо целых чисел не устраивает? Возьмем, например, два идеала $(4)$ и $(6)$. Тогда
$(4) + (6) = (2)$
$(4) \cdot (6) = (24)$
$(4) \cap (6) = (12)$
$(6) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (4) = (4) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (6) = (2)$
$(4) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (6) = (6) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (4) = (3)$
Очень наглядно.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #986137 писал(а):

А чем вас кольцо целых чисел не устраивает? Возьмем, например, два идеала $(4)$ и $(6)$. Тогда
$(4) + (6) = (2)$
$(4) \cdot (6) = (24)$
$(4) \cap (6) = (12)$
$(6) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (4) = (4) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (6) = (2)$
$(4) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (6) = (6) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (4) = (3)$
Очень наглядно.

Хотелось именно кольцо многочленов, раз мы сейчас изучаем алгебраическую геометрию, а не алгебру :) Ладно, не получилось так не получилось, мы тоже операции над идеалами рассматривали на примере числовых колец, там интересная структура множества идеалов.

[AV_77]

Нет, если вы хотите, то можно и с многочленами то же самое проделать. Только таблицы индексов, в общем случае, построить не получится. Так что придется немного поработать