2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение04.03.2015, 23:04 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Решил построить конечное кольцо многочленов, чтобы поискать в нем идеалы, но кольцо оказалось очень маленьким. Я не понимаю причину этого. Я строил кольцо $F_2 [x] / (x^4 + x^2 + x)$. Равенство для вычислений в этом кольце: $\alpha ^4 = \alpha ^2 + \alpha$. Степень многочлена равна 4, поэтмоу кольцо содержит $2^4 = 16$ элементов.

Нахожу степени образующего элемента:

$\alpha ^4 = \alpha ^2 + \alpha$

$\alpha ^5 = \alpha ^3 + \alpha ^2$

$\alpha ^6 = \alpha ^4 + \alpha ^3 = \alpha ^3 + \alpha ^2 + \alpha$

$\alpha ^7 = \alpha ^4 + \alpha ^3 + \alpha ^2 = \alpha ^3 + \alpha$

$\alpha ^8 = \alpha ^4 + \alpha ^2 = \alpha$

$\alpha ^9 = \alpha ^2$

$\alpha ^ {10} = \alpha ^3$

$\alpha ^ {11} = \alpha ^4 = \alpha ^2 + \alpha$

Элементы начали повторяться, хотя должно быть 16 уникальных элементов. Почему так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение04.03.2015, 23:40 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
А почему вы решили, что должно быть 16 уникальных? Это не может быть даже, если бы ваше кольцо было полем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение04.03.2015, 23:44 
Аватара пользователя


03/11/14

395
AV_77 в сообщении #985740 писал(а):
А почему вы решили, что должно быть 16 уникальных? Это не может быть даже, если бы ваше кольцо было полем.

Только для поля верно, что число его элементов вычисляется так, как я это сделал?
Почему этого не могло быть даже в случае с полем? Ноль, единица и еще 14 многочленов. Элементов столько, сколько существует перестановок из 2 элементов по 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение04.03.2015, 23:48 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):
Почему этого не могло быть даже в случае с полем? Ноль, единица и еще 14 многочленов.

Это, конечно, верно. Однако ноль не может быть степенью непутевого элемента (в поле). Так что максимум различных степеней будет 15. И то не всегда. Корень порождающего многочлена будет порождать мультипликативную группу только в том случае, когда этот многочлен примитивен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение04.03.2015, 23:52 
Аватара пользователя


03/11/14

395
AV_77 в сообщении #985746 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):
Почему этого не могло быть даже в случае с полем? Ноль, единица и еще 14 многочленов.

Это, конечно, верно. Однако ноль не может быть степенью ненулевого элемента. Так что максимум различных степеней будет 15. И то не всегда. Корень порождающего многочлена будет порождать мультипликативную группу только в том случае, когда этот многочлен примитивен.

Значит, я построил только мультипликативную группу, а делители нуля мне получить не удастся так легко? И тем более не получится составить для них таблицу индексов для удобного и быстрого умножения? Тогда как можно построить конечное кольцо? Можно выписать все комбинации коэффициентов типа 0110 и записать их как многочлены, но все равно таблицы индексов-то нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение04.03.2015, 23:57 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Конкретно в вашем кольце все многочлены, у которых свободный член нулевой, являются делителями нуля, так как выполняется равенство $\alpha (1 + \alpha + \alpha^3) = 0$.

PS Ваше кольцо изоморфно $\mathbb{F}_2[x] / (x) \times \mathbb{F}_2[x] / (x^3 + x + 1) \simeq \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 09:16 
Заслуженный участник


27/06/08
3243
Волгоград
Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):
Элементов столько, сколько существует перестановок из 2 элементов по 4.
А что это такое?! Может, все-таки, размещений с повторениями?

По существу задачи:
Каждый элемент однозначно представляется остатком от деления на полином 4-й степени.
Так что их действительно 16.
Складываются остатки тривиально.
А при умножении нужно заменять произведение остатков его остатком от деления на полином $x^4+x^2+x$. Для такой замены можно делить уголком, а можно пользоваться выписанными у Вас формулами понижения степени.
При желании можно выписать и полную таблицу умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 20:34 
Аватара пользователя


03/11/14

395
VAL в сообщении #985827 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #985743 писал(а):
Элементов столько, сколько существует перестановок из 2 элементов по 4.
А что это такое?! Может, все-таки, размещений с повторениями?

Да, вы меня верно поправили.

Про то, как образуются элементы этого кольца, я знаю. Мне просто нужна была таблица индексов, чтобы вычисления проводить элементарно складывая степени образующего элемента, а не делить уголком. Может быть, посоветуете, какое кольцо взять, чтобы прочувствовать операции над идеалами в нем? Хотелось бы полиномиальное, но похоже, придется взять конечное числовое поле $Z_m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 20:54 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Для умножения с использованием таблицы индексов берите конечное поле, например $\mathbb{F}_2[x] / (x^3 + x + 1)$. А какая связь у таблицы индексов с операциями над идеалами? И какие операции вы хотите "почувствовать"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 21:25 
Аватара пользователя


03/11/14

395
AV_77 в сообщении #986117 писал(а):
Для умножения с использованием таблицы индексов берите конечное поле, например $\mathbb{F}_2[x] / (x^3 + x + 1)$.


В поле все идеалы тривиальны.

Цитата:
А какая связь у таблицы индексов с операциями над идеалами? И какие операции вы хотите "почувствовать"?


Вычислять легче, делить в столбик я замучаюсь.
Все те операции, о которых говорится в любом учебнике по коммутативной алгебре - сложение, умножение, объединение, пересечение. Хочу проследить, как идеалы вкладываются друг в друга, а то одна теория как-то не очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 21:40 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
Cразу видно два делителя нуля $\alpha (\alpa^3+\alpha +1)=0$.
Идеалы из 0, порожденные этими делителями нуля и все кольцо.
Порожденное первым делителем нуля вы фактически нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 21:47 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Nurzery[Rhymes] в сообщении #986126 писал(а):
В поле все идеалы тривиальны.

Зато таблицу индексов можно использовать. В произвольном кольце так хорошо не получится --- не существует порождающего для множества ненулевых элементов кольца.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #986126 писал(а):
Все те операции, о которых говорится в любом учебнике по коммутативной алгебре - сложение, умножение, объединение, пересечение. Хочу проследить, как идеалы вкладываются друг в друга, а то одна теория как-то не очень.

А чем вас кольцо целых чисел не устраивает? Возьмем, например, два идеала $(4)$ и $(6)$. Тогда
$(4) + (6) = (2)$
$(4) \cdot (6) = (24)$
$(4) \cap (6) = (12)$
$(6) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (4) = (4) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (6) = (2)$
$(4) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (6) = (6) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (4) = (3)$
Очень наглядно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 21:56 
Аватара пользователя


03/11/14

395
AV_77 в сообщении #986137 писал(а):
А чем вас кольцо целых чисел не устраивает? Возьмем, например, два идеала $(4)$ и $(6)$. Тогда
$(4) + (6) = (2)$
$(4) \cdot (6) = (24)$
$(4) \cap (6) = (12)$
$(6) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (4) = (4) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (6) = (2)$
$(4) \operatorname{{}^{\cdot}{}_{\cdot}} (6) = (6) \operatorname{{}_{\cdot}{}^{\cdot}} (4) = (3)$
Очень наглядно.


Хотелось именно кольцо многочленов, раз мы сейчас изучаем алгебраическую геометрию, а не алгебру :) Ладно, не получилось так не получилось, мы тоже операции над идеалами рассматривали на примере числовых колец, там интересная структура множества идеалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечное кольцо слишком маленькое
Сообщение05.03.2015, 22:33 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Нет, если вы хотите, то можно и с многочленами то же самое проделать. Только таблицы индексов, в общем случае, построить не получится. Так что придется немного поработать :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group