III-й (областной) этап XXXIV ВСЕРОССИЙСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
2007-2008 учебный год
Первый день
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
8 класс
8.1. Даны шестизначные числа

и

. Число

состоит из четных цифр, число

— из нечетных, а в числе

=

+

четные и нечетные цифры чередуются. Какое наибольшее значение может принимать

? (М. Мурашкин)
8.2. В треугольнике

проведены высоты

и

. Точка, симметричная середине стороны

относительно прямой

, обозначена через

, а точка, симметричная той же середине относительно прямой

— через

. Докажите, что отрезки

и

параллельны. (Л. Емельянов)
8.3. Существуют ли попарно различные действительные числа

такие, что

? (В. Сендеров)
8.4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьей клетка находилась под боем хотя бы трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали, и между ними нет занятых клеток.) (М. Мурашкин)
9 класс
9.1.

последовательных натуральных чисел разбили произвольным образом на

группы по

числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из

полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными? (Я. Агаханов)
9.2. Ненулевые числа

и

таковы, что

. Докажите, что

. (В. Сендеров)
9.3. Трапеция

с основаниями

и

описана около окружности. Известно, что

Найдите отношение

. (М. Мурашкин)
9.4. (см. 8.4. )
10 класс
10.1.

последовательных натуральных числа разбили произвольным образом на

групп по

числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из

полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными? (Я. Агаханов)
10.2. На плоскости расставлены

точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая точка помечена числом

,

или

, после этого проведены все отрезки, соединяющие пары точек, помеченных различными числами. Каждый отрезок помечен числом (

,

или

), отличным от чисел в его концах. В результате оказалось, что каждое из трех чисел написано на плоскости ровно по

раз. Найдите

. (Я. Кожевников)
10.3. На диаметре

окружности

выбрана точка

. На отрезках

и

как на диаметрах построены окружности

и

соответственно. Прямая

пересекает окружность

в точках

и

, окружность

-— в точках

и

, а окружность

-— в точках

и

. Докажите, что

.(Я. Кожевников)
10.4. У трехчлена

коэффициенты

и

— натуральные числа, а десятичная запись одного из корней начинается с

Найдите наименьшее возможное значение

. (И. Богданов)
11 класс
11.1. Натуральные числа

и

,

таковы, что число

оканчивается на

. Докажите, что число

также оканчивается на

. (Я. Агаханов)
11.2. (см 10.2.)
11.3. На плоскости даны

векторов, длина каждого не превосходит

. Докажите, что можно выбрать

и повернуть все векторы на угол

(некоторые — по часовой стрелке, а некоторые — против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила

. (Д. Тереишн)
11.4. Пусть

— количество решений уравнения

, а

— количество решений уравнения

(

и

— положительные действительные числа, причем

). Какие значения может принимать выражение

? (И. Богданов)