3-й (областной) этап XXXIV всерос. мат. олимпиады школьников

[Hypokeimenon]

III-й (областной) этап XXXIV ВСЕРОССИЙСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
2007-2008 учебный год
Первый день
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

8 класс

8.1. Даны шестизначные числа $A$ и $B$. Число $A$ состоит из четных цифр, число $B$ — из нечетных, а в числе $C$ = $A$ + $B$ четные и нечетные цифры чередуются. Какое наибольшее значение может принимать $C$? (М. Мурашкин)

8.2. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Точка, симметричная середине стороны $AC$ относительно прямой $BC$, обозначена через $A_2$, а точка, симметричная той же середине относительно прямой $AB$ — через $C_2$. Докажите, что отрезки $A_1A_2$ и $C_1C_2$ параллельны. (Л. Емельянов)

8.3. Существуют ли попарно различные действительные числа $a, b, c$ такие, что $a(b - c) = b(c -a) = c(a - b)$? (В. Сендеров)

8.4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьей клетка находилась под боем хотя бы трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали, и между ними нет занятых клеток.) (М. Мурашкин)

9 класс

9.1. $99$ последовательных натуральных чисел разбили произвольным образом на $33$ группы по $3$ числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из $33$ полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными? (Я. Агаханов)

9.2. Ненулевые числа $a,b$ и $c$ таковы, что $a^2(b+ c - a) = b^2(c + a - b) = c^2(a + b - c)$. Докажите, что $a = b = c$. (В. Сендеров)

9.3. Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ описана около окружности. Известно, что $\angle BCD = 2 \angle BAD$ Найдите отношение $AB/BC$. (М. Мурашкин)

9.4. (см. 8.4. )

10 класс

10.1. $72$ последовательных натуральных числа разбили произвольным образом на $18$ групп по $4$ числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из $18$ полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными? (Я. Агаханов)

10.2. На плоскости расставлены $200$ точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая точка помечена числом $1$, $2$ или $3$, после этого проведены все отрезки, соединяющие пары точек, помеченных различными числами. Каждый отрезок помечен числом ($1$, $2$ или $3$), отличным от чисел в его концах. В результате оказалось, что каждое из трех чисел написано на плоскости ровно по $n$ раз. Найдите $n$. (Я. Кожевников)

10.3. На диаметре $AB$ окружности $\omega$ выбрана точка $C$. На отрезках $AC$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. Прямая $l$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $D$, окружность $\omega_1$ -— в точках $A$ и $E$, а окружность $\omega_2$ -— в точках $M$ и $N$. Докажите, что $MD = NE$.(Я. Кожевников)

10.4. У трехчлена $x^2 - ax + b$ коэффициенты $a$ и $b$ — натуральные числа, а десятичная запись одного из корней начинается с $2,008 \ldots$ Найдите наименьшее возможное значение $a$. (И. Богданов)

11 класс

11.1. Натуральные числа $n$ и $k$, $n>k$ таковы, что число $n!/k!$ оканчивается на $2008$. Докажите, что число $n$ также оканчивается на $2008$. (Я. Агаханов)

11.2. (см 10.2.)

11.3. На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого не превосходит $1$. Докажите, что можно выбрать $\alpha$ и повернуть все векторы на угол $\alpha$ (некоторые — по часовой стрелке, а некоторые — против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила $1$. (Д. Тереишн)

11.4. Пусть $m$ — количество решений уравнения $\sin x = ax + b$, а $m$ — количество решений уравнения $x = a \cos x + b$ ($a$ и $b$ — положительные действительные числа, причем $a \neq 1$ ). Какие значения может принимать выражение $mn-m-n$? (И. Богданов)

[bot]

Не рановато ли выложили?
Они ведь ещё в деле могут быть. У меня есть и другой вариант, но я не в курсе, какой из них более ранний.

[ИСН]

11.1 $n!/k!$ - это произведение нескольких последовательных чисел. При это среди них не может быть делящихся на 5, а значит, остаются варианты из 4, 3, 2 чисел - тупейшей проверкой убеждаемся, что в этих случаях последней цифрой никогда не будет 8 - или из одного числа.

[Hypokeimenon]

bot писал(а):

Не рановато ли выложили?
Они ведь ещё в деле могут быть.

По крайней мере у всех школьников, приехавших с этой олимпиады, задания уже есть, так что они не могут представлять из себя секрет. Задания второго дня, к сожалению, обработать пока нет времени.

[sergey1]

11.4 С помощью производной видим, что при $a>1$ первое уравнение имеет единственное решение, а при $a<1$ - второе. Тогда $mn-m-n=(m-1)(n-1)-1=-1$

[TOTAL]

Цитата:

11.3. На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого не превосходит $1$. Докажите, что можно выбрать $\alpha$ и повернуть все векторы на угол $\alpha$ (некоторые — по часовой стрелке, а некоторые — против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила $1$. (Д. Тереишн)

Окрашиваем векторы на плоскости (или еще где, неважно) один за другим (в произвольном порядке) до тех пор, пока длина суммы окрашенных не станет почти равной (отличаться меньше чем на 1) от длины суммы неокрашенных. Окрашенные вертим в одну сторону, неокрашенные в другую.

[CD_Eater]

Мне кажется, задачка 8.4 на порядок сложнее всех остальных

[Macavity]

CD_Eater писал(а):

Мне кажется, задачка 8.4 на порядок сложнее всех остальных

А мне кажется, что нет в ней ничего сложного.
Разве не 22?

[Capella]

Macavity

А разве не 16? Занять ладьями обе главные диагонали.

[worm2]

8.4 - неприятная задача. В принципе рассуждения, нужные для её решения, не очень сложные, но если тщательно их расписывать, то изложение получится очень громоздким. Попробую написать, опустив детали, которые, как мне кажется, нетрудно восстанавливаются.

Утверждение A: если существует горизонталь (j-я), на которой стоит всего одна ладья (пусть на i-й вертикали), то нетрудно видеть, что для всех остальных клеток j-й горизонтали (k,j), k <> i, сверху и снизу от них должно быть по ладье (в частности, из утверждения A следует, что j-я горизонталь не является крайней).

Если теперь на i-й вертикали стоит ещё одна ладья, то отсюда следует оценка для минимального числа ладей: не менее 16. Если на i-й вертикали больше нет ладей, то [аналогично утверждению A] доска разбивается на 4 прямоугольные части: (< i, < j), (< i, > j), (> i, < j), (> i, > j). Части непустые, поскольку ни i-я вертикаль, ни j-я горизонталь не могут быть крайними. В каждой части должно быть не меньше ладей, чем максимум из ширины и высоты этой части [следует из утверждения A]. В итоге [тут по идее нужно аккутарно выписать оценки для разных случаев] получается та же оценка, что число ладей не менее 16.

Итак, если существует горизонталь, на которой менее 2 ладей, то общее число ладей не меньше 16.

Если существует горизонталь, на которой 3 или более ладей, то либо существует горизонталь, на которой менее 2 ладей, либо общее число ладей получается уже больше 16.

Остаётся случай, при котором на каждой горизонтали ровно 2 ладьи. Нетрудно видеть, что в этом случае ладей ровно 16

Осталось привести пример расположения 16 ладей, удовлетворяющий условию:

Л......Л
.Л....Л.
..Л..Л..
...ЛЛ...
...ЛЛ...
..Л..Л..
.Л....Л.
Л......Л

[Macavity]

Capella писал(а):

Macavity

А разве не 16? Занять ладьями обе главные диагонали.

Да, точно! Недодумал.

[maxal]

Вот еще такое доказательство 8.4.

Предположим, что ладей меньше 16, тогда найдется вертикаль, пусть $x$ (от 0 до 7), в которой стоит только одна ладья (ноль стоять не может, так как в этом случае нарушится условие задачи). Аналогично, найдется горизонталь, пусть $y$, в которой стоит только одна ладья. Понятно, что клетка $(x,y)$ должна быть занята ладьей, - и это та самая ладья, стоящая в одиночестве на вертикале $x$ и горизонтале $y$. Эти вертикаль и горизонталь разбивают поле на 4 "квадранта" размерами $x\times y$, $x\times (7-y)$, $(7-x)\times y$, $(7-x)\times (7-y)$. При этом, чтобы все незанятые клетки на вертикале $x$ и горизонтале $y$ бились тремя ладьями, необходимо, чтобы количество ладей в этих квадрантах было не меньше

$$N=\max(x,y)+\max(x,7-y)+\max(7-x,y)+\max(7-x,7-y).$$

Без потери общности можно считать, что $x\geq 7-x$ и $y\geq 7-y$ и, более того, $x\geq y$ (иначе перенумерация и возможно поворот доски на 90 градусов). Тогда $x\geq y\geq 4>7-y\geq7-x$ и

$$N=x+x+y+7-y=7+2x\geq 15.$$

Таким образом, общее количество ладей должно быть не меньше $N+1\geq 16.$ Полученное противоречие доказывает, что ладей не может быть меньше 16.

[bot]

Hypokeimenon писал(а):

bot писал(а):

Не рановато ли выложили?
Они ведь ещё в деле могут быть.

По крайней мере у всех школьников, приехавших с этой олимпиады, задания уже есть, так что они не могут представлять из себя секрет. Задания второго дня, к сожалению, обработать пока нет времени.

Я был прав. Именно этот вариант не только ещё в деле, но и будет в деле по меньшей мере ещё неделю.

[нг]

Тема временно закрыта. bot, не откажите в любезности: чиркните напоминание, когда можно будет открыть.

[нг]

Возвращена.