2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Главные направления аффинного преобразования плоскости
Сообщение02.03.2015, 17:42 


10/09/14
284
Здравствуйте. Подскажите, как решать задачи такого типа:
Найти компоненты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования $x'=x, y'=-x+y$, представить аффинное преобразование в виде композиции ортогонального преобразования $g$ и двух сжатий к взаимно перпендикулярным осям: $f=h_2h_1g$
По первой части задачи, пытался задать семейство взаимно перпендикулярных прямых

$$
\begin{cases}
ax+by=0\\
bx+ay=0
\end{cases}
$$
при условии, что скалярное произведение их нормальных векторов равно $0$, т.е. $ \mathbf{n_1}(a,b)$, $ \mathbf{n_2}(b,a)$ и $( \mathbf{n_1}, \mathbf{n_2})=0$ Потом применял само преобразование, где прямые должны перейти в другие перпендикулярные прямые,но к решению это не привело.
Во второй части, даже не знаю с чего начать, пытался наугад или геометрическими построениями находить искомое ортагональное преобразовние, но это для простых задач только срабатывало, нужен какой-то аналитический метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главные направления аффинного преобразования плоскости
Сообщение02.03.2015, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Viktor92 в сообщении #984715 писал(а):
Здравствуйте. Подскажите, как решать задачи такого типа:
Найти компоненты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования $x'=x, y'=-x+y$, представить аффинное преобразование в виде композиции ортогонального преобразования $g$ и двух сжатий к взаимно перпендикулярным осям: $f=h_2h_1g$
По первой части задачи, пытался задать семейство взаимно перпендикулярных прямых

$$
\begin{cases}
ax+by=0\\
bx+ay=0
\end{cases}
$$
при условии, что скалярное произведение их нормальных векторов равно $0$, т.е. $ \mathbf{n_1}(a,b)$, $ \mathbf{n_2}(b,a)$ и $( \mathbf{n_1}, \mathbf{n_2})=0$ Потом применял само преобразование, где прямые должны перейти в другие перпендикулярные прямые,но к решению это не привело.
....

Вы применили правильный подход, такой ход решения должен был привести к правильному результату.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главные направления аффинного преобразования плоскости
Сообщение02.03.2015, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Только прямые как-то не очень перпендикулярны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главные направления аффинного преобразования плоскости
Сообщение02.03.2015, 23:58 


10/09/14
284
Brukvalub в сообщении #984724 писал(а):
Вы применили правильный подход, такой ход решения должен был привести к правильному результату.

Спасибо, что-то я поначалу не довёл дело до конца, вот результат: направляющие векторы сингулярных направлений $\mathbf{a_1}(2, -1+\sqrt{5})$ и $\mathbf{a_2}(2, -1-\sqrt{5})$
ИСН в сообщении #984725 писал(а):
Только прямые как-то не очень перпендикулярны.

Да, Вы правы, надо вот так:
$$
\begin{cases}
ax+by=0\\
bx-ay=0
\end{cases}
$$
А что по второй части задачи, как разложить аффинное преобразование на ортогональное и сжатие к сингулярным прямым?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group