Главные направления аффинного преобразования плоскости

[Viktor92]

Здравствуйте. Подскажите, как решать задачи такого типа:
Найти компоненты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования $x'=x, y'=-x+y$, представить аффинное преобразование в виде композиции ортогонального преобразования $g$ и двух сжатий к взаимно перпендикулярным осям: $f=h_2h_1g$
По первой части задачи, пытался задать семейство взаимно перпендикулярных прямых

$$ \begin{cases} ax+by=0\\ bx+ay=0 \end{cases} $$

при условии, что скалярное произведение их нормальных векторов равно $0$, т.е. $ \mathbf{n_1}(a,b)$, $ \mathbf{n_2}(b,a)$ и $( \mathbf{n_1}, \mathbf{n_2})=0$ Потом применял само преобразование, где прямые должны перейти в другие перпендикулярные прямые,но к решению это не привело.
Во второй части, даже не знаю с чего начать, пытался наугад или геометрическими построениями находить искомое ортагональное преобразовние, но это для простых задач только срабатывало, нужен какой-то аналитический метод.

[Brukvalub]

Viktor92 в сообщении #984715 писал(а):

Здравствуйте. Подскажите, как решать задачи такого типа:
Найти компоненты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования $x'=x, y'=-x+y$, представить аффинное преобразование в виде композиции ортогонального преобразования $g$ и двух сжатий к взаимно перпендикулярным осям: $f=h_2h_1g$
По первой части задачи, пытался задать семейство взаимно перпендикулярных прямых

$$ \begin{cases} ax+by=0\\ bx+ay=0 \end{cases} $$

при условии, что скалярное произведение их нормальных векторов равно $0$, т.е. $ \mathbf{n_1}(a,b)$, $ \mathbf{n_2}(b,a)$ и $( \mathbf{n_1}, \mathbf{n_2})=0$ Потом применял само преобразование, где прямые должны перейти в другие перпендикулярные прямые,но к решению это не привело.
....

Вы применили правильный подход, такой ход решения должен был привести к правильному результату.

[ИСН]

Только прямые как-то не очень перпендикулярны.

[Viktor92]

Brukvalub в сообщении #984724 писал(а):

Вы применили правильный подход, такой ход решения должен был привести к правильному результату.

Спасибо, что-то я поначалу не довёл дело до конца, вот результат: направляющие векторы сингулярных направлений $\mathbf{a_1}(2, -1+\sqrt{5})$ и $\mathbf{a_2}(2, -1-\sqrt{5})$

ИСН в сообщении #984725 писал(а):

Только прямые как-то не очень перпендикулярны.

Да, Вы правы, надо вот так:

$$ \begin{cases} ax+by=0\\ bx-ay=0 \end{cases} $$

А что по второй части задачи, как разложить аффинное преобразование на ортогональное и сжатие к сингулярным прямым?