2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 13:59 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Выяснить, какие множества точек $z$ комплексной плоскости удовлетворяют неравенству $|z-i| + |z+i| < 4$.

Сумма расстояний точки $z$ до двух точек $i$ и $-i$ должна быть меньше 4. Если бы она строго равнялась 4, получили бы уравнение эллипса. Значит, это неравенство задает внутренность эллипса.

А как правильно построить этот эллипс на бумаге? Все, что я нашел из формулы, это фокусы в точках $(0;1)$ и $(0;-1)$, а также то, что длина большой оси равна 4. Как по этим данным найти вторую ось и поточнее начертить эллипс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Найдите точку на оси абсцисс, сумма расстояний от которой до фокусов равна $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если известно расстояние между фокусами и длина бОльшей полуоси эллипса, то дальше примитивно применяются соотношения для параметров эллипса, выписанные в любом учебнике по аналитической геометрии, и мгновенно находится вторая полуось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 17:46 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Ага, вроде бы по таким формулам я нашел верно, что длина второй полной оси равна 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nurzery[Rhymes] в сообщении #984270 писал(а):
Ага, вроде бы по таким формулам я нашел верно, что длина второй полной оси равна 2.
Так проверьте свой результат прямым счетом, взяв точку $(1 , 0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 17:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Nurzery[Rhymes] в сообщении #984270 писал(а):
Ага, вроде бы по таким формулам я нашел верно, что длина второй полной оси равна 2.
Это очевидно неверный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 18:07 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Я использовал такую формулу. Если большая полуось равна $2a$, то малая вычисляется по формуле $\sqrt{a^2 - \frac{{|z_1 - z_2 |}^{2}}{4}} = \sqrt{2^2 - \frac{2^2}{4}}=2$

-- 01.03.2015, 19:10 --

Brukvalub в сообщении #984280 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #984270 писал(а):
Ага, вроде бы по таким формулам я нашел верно, что длина второй полной оси равна 2.
Так проверьте свой результат прямым счетом, взяв точку $(1 , 0)$

Действительно, она не лежит на эллипсе, ее расстояние до фокусов равно всего лишь двум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nurzery[Rhymes] в сообщении #984294 писал(а):
Я использовал такую формулу. Если большая полуось равна $2a$, то малая вычисляется по формуле $\sqrt{a^2 - \frac{{|z_1 - z_2 |}^{2}}{4}} = \sqrt{2^2 - \frac{2^2}{4}}=2$

/..
..$\sqrt{2^2 - \frac{2^2}{4}}=\sqrt3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Зачем лезть в учебник по аналитической геометрии, если известно, что сумма расстояний от крайней правой точки эллипса до фокусов равна 4. То есть расстояние до одного из фокусов равно 2. Дальше теорема Пифагора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 20:01 
Аватара пользователя


03/11/14

395
ex-math в сообщении #984366 писал(а):
Зачем лезть в учебник по аналитической геометрии, если известно, что сумма расстояний от крайней правой точки эллипса до фокусов равна 4. То есть расстояние до одного из фокусов равно 2. Дальше теорема Пифагора.

А мне лень было думать, я решал это задание, а все время в голове был анализ и замена переменных в двойных интегралах. Хотелось быстрее с этим покончить, вот и взял готовую формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс в комплексной плоскости
Сообщение01.03.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Готовые формулы приносят боль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group