2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фольклор 1930-х годов (или раньше)
Сообщение28.01.2008, 22:42 
Заслуженный участник


03/12/07
380
Україна
Решить уравнение: $x^3  + 1 = 2\sqrt[3]{{2x - 1}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2008, 01:07 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Сначала убеждаемся, что у этого уравнения только три действительных корня. Переписав же уравнение в виде $f(f(x))=x$, где $f(x)=\frac{x^3+1}{2}$, заключаем, что это те самые корни, что и у уравнения $f(x)=x$. Последнее же имеет корнями $x=1$ и $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2008, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
maxal писал(а):
Сначала убеждаемся, что у этого уравнения только три действительных корня.
Зачем? Ваше последующее решение не требует такой предварительной проверки, поскольку Вы используете монотонную функцию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2008, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
Другой вариант:
Полагаем $t=\sqrt[3]{2x-1}$ и превращаем уравнение в систему

$ x^3+1=2t $
$ t^3+1=2x $

Вычитанием получаем $x=t$, так как $x^2+xt+t^2 \ne -2$.
Получаем уравнение $x^3-2x+1=0$ с очевидным корнем $x=1$, оставшиеся два - из квадратного уравнения.

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

Цитата:
Фольклор 1930-х годов (или раньше)

Видимо раньше. Где-то у меня задачник 1905 г. (?) был - надо заглянуть. Сдаётся мне, что там если и не она, то весьма схожие есть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group