Фольклор 1930-х годов (или раньше)

[Edward_Tur]

Решить уравнение: $x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{{2x - 1}}$

[maxal]

Сначала убеждаемся, что у этого уравнения только три действительных корня. Переписав же уравнение в виде $f(f(x))=x$, где $f(x)=\frac{x^3+1}{2}$, заключаем, что это те самые корни, что и у уравнения $f(x)=x$. Последнее же имеет корнями $x=1$ и $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.

[Brukvalub]

maxal писал(а):

Сначала убеждаемся, что у этого уравнения только три действительных корня.

Зачем? Ваше последующее решение не требует такой предварительной проверки, поскольку Вы используете монотонную функцию.

[bot]

Другой вариант:
Полагаем $t=\sqrt[3]{2x-1}$ и превращаем уравнение в систему

$ x^3+1=2t $
$ t^3+1=2x $

Вычитанием получаем $x=t$, так как $x^2+xt+t^2 \ne -2$.
Получаем уравнение $x^3-2x+1=0$ с очевидным корнем $x=1$, оставшиеся два - из квадратного уравнения.

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

Цитата:

Фольклор 1930-х годов (или раньше)

Видимо раньше. Где-то у меня задачник 1905 г. (?) был - надо заглянуть. Сдаётся мне, что там если и не она, то весьма схожие есть.