PGL(2, Q)

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Моя задача состоит в том, чтоб классифицировать конечные подгруппы группы $PGL_2(\mathbb{Q})$. При этом я знаю классификацию конечных подгрупп группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Но я не совсем понимаю как этим мне воспользоваться. Мы знаем определение $PGL_2(\mathbb{Q}) = GL_2(\mathbb{Q}) / H$, где $H = \lbrace \lambda E | \lambda \neq 0 \rbrace$. Конечные подгруппы $GL_2(\mathbb{Q})$ это $C_k, \ D_k$, $k = 1,..,6$, где $C_k$ - циклическая группа порядка $k$, $D_k$ - группа диэдра порядка $2k$. Например, правильно ли я понимаю, что группа $D_2$ быть подгруппой не может ?

[Nemiroff]

Что-то у вас то линейные, то проективные.

$$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \text{и} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$

[3.14]

Мне нужны конечные подгруппы проективной группы. Я знаю конечные подгруппы в группе $GL_2(\mathbb{Q})$. Как то знание этого факта поможет мне справиться с проективной группой ? ) На первый взгляд мне показалось, что конечные подгруппы в $PGL_2(\mathbb{Q})$ (с точностью до изоморфизма) такие же как и в $GL_2(\mathbb{Q})$

[Nemiroff]

Ну мне тоже так кажется.
Можно накидать образующих. Для $D_2$ я выше привёл.

-- Сб фев 28, 2015 22:09:03 --

А чего кажется?
Элемент

$$\begin{pmatrix} 1+2\cos\frac{2\pi}{n} & -1 \\ 1 & 1\\ \end{pmatrix}$$

даёт порядок $n$. Как раз $3,4,6$ дают целые числа.

[3.14]

Откуда такая матрица ?

[Nemiroff]

$1+2\cos\frac{2\pi}{n}=1+t_n+1/t_n$, где $t_n$ --- корень из единицы степени $n$.

[3.14]

Это понятно ) я имел ввиду, как эту матрицу Вы используете в понимании того, что подгруппы будут те же?

[Nemiroff]

Ну если она правда порядка $n$, то она генерирует циклические. А вместе с

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$

диэдральные.

[3.14]

Я вот не очень в группах ) поэтому такой вопрос : точно же не могут появиться другие подгруппы, которых нет в $GL_2(\mathbb{Q})$. Просто я взял именно $C_k$ и $D_k$ потому что они описывают конечные подгруппы главной линейной группы. Мы показали, что они лежат в $PGL_2(\mathbb{Q})$. Остается понять, что других нет

[ИСН]

Ну а как они появятся, если $PGL$ входит в $GL$?

[Nemiroff]

ИСН в сообщении #983862 писал(а):

Ну а как они появятся, если $PGL$ входит в $GL$?

В каком смысле "входит"?

[ИСН]

Ну это группа "каких-то" матриц, а то группа "всех" матриц, нет?

[Nemiroff]

ИСН в сообщении #983993 писал(а):

Ну это группа "каких-то" матриц, а то группа "всех" матриц, нет?

Ну погодите. $\mathbb{Z}$ — это все числа, а $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ —какие-то числа.

[ИСН]

Операция между некоторыми числами в $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ даёт результаты, отличающиеся от операции над (якобы) "теми же" числами в $\mathbb{Z}$. Есть ли этому аналоги здесь?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Почему нет? Там прибавится число из $n\mathbb Z$, тут умножится на скалярную матрицу из $Z(\mathrm{GL}(n,F))$.