2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 19:59 
Здравствуйте, участники форума. Моя задача состоит в том, чтоб классифицировать конечные подгруппы группы $PGL_2(\mathbb{Q})$. При этом я знаю классификацию конечных подгрупп группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Но я не совсем понимаю как этим мне воспользоваться. Мы знаем определение $PGL_2(\mathbb{Q}) = GL_2(\mathbb{Q}) / H$, где $H = \lbrace \lambda E | \lambda \neq 0 \rbrace$. Конечные подгруппы $GL_2(\mathbb{Q})$ это $C_k, \ D_k$, $k = 1,..,6$, где $C_k$ - циклическая группа порядка $k$, $D_k$ - группа диэдра порядка $2k$. Например, правильно ли я понимаю, что группа $D_2$ быть подгруппой не может ? :D

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 21:18 
Что-то у вас то линейные, то проективные. :mrgreen:
$$\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
 0 & 1\\
 \end{pmatrix}
\text{и}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\\
 \end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 21:47 
Мне нужны конечные подгруппы проективной группы. Я знаю конечные подгруппы в группе $GL_2(\mathbb{Q})$. Как то знание этого факта поможет мне справиться с проективной группой ? ) На первый взгляд мне показалось, что конечные подгруппы в $PGL_2(\mathbb{Q})$ (с точностью до изоморфизма) такие же как и в $GL_2(\mathbb{Q})$ :oops: :oops:

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:02 
Ну мне тоже так кажется.
Можно накидать образующих. Для $D_2$ я выше привёл.

-- Сб фев 28, 2015 22:09:03 --

А чего кажется?
Элемент $$\begin{pmatrix} 1+2\cos\frac{2\pi}{n} & -1 \\ 1 & 1\\ \end{pmatrix}$$ даёт порядок $n$. Как раз $3,4,6$ дают целые числа.

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:10 
Откуда такая матрица ? :D

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:18 
$1+2\cos\frac{2\pi}{n}=1+t_n+1/t_n$, где $t_n$ --- корень из единицы степени $n$.

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:23 
Это понятно ) я имел ввиду, как эту матрицу Вы используете в понимании того, что подгруппы будут те же? :D

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:29 
Ну если она правда порядка $n$, то она генерирует циклические. А вместе с $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ диэдральные.

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:39 
Я вот не очень в группах ) поэтому такой вопрос : точно же не могут появиться другие подгруппы, которых нет в $GL_2(\mathbb{Q})$. Просто я взял именно $C_k$ и $D_k$ потому что они описывают конечные подгруппы главной линейной группы. Мы показали, что они лежат в $PGL_2(\mathbb{Q})$. Остается понять, что других нет :-)

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 23:49 
Аватара пользователя
Ну а как они появятся, если $PGL$ входит в $GL$?

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 01:28 
ИСН в сообщении #983862 писал(а):
Ну а как они появятся, если $PGL$ входит в $GL$?
В каком смысле "входит"?

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 11:17 
Аватара пользователя
Ну это группа "каких-то" матриц, а то группа "всех" матриц, нет?

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 20:11 
ИСН в сообщении #983993 писал(а):
Ну это группа "каких-то" матриц, а то группа "всех" матриц, нет?
Ну погодите. $\mathbb{Z}$ — это все числа, а $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ —какие-то числа.

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 22:53 
Аватара пользователя
Операция между некоторыми числами в $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ даёт результаты, отличающиеся от операции над (якобы) "теми же" числами в $\mathbb{Z}$. Есть ли этому аналоги здесь?

 
 
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение02.03.2015, 00:07 

(Оффтоп)

Почему нет? Там прибавится число из $n\mathbb Z$, тут умножится на скалярную матрицу из $Z(\mathrm{GL}(n,F))$.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group