2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 19:59 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. Моя задача состоит в том, чтоб классифицировать конечные подгруппы группы $PGL_2(\mathbb{Q})$. При этом я знаю классификацию конечных подгрупп группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Но я не совсем понимаю как этим мне воспользоваться. Мы знаем определение $PGL_2(\mathbb{Q}) = GL_2(\mathbb{Q}) / H$, где $H = \lbrace \lambda E | \lambda \neq 0 \rbrace$. Конечные подгруппы $GL_2(\mathbb{Q})$ это $C_k, \ D_k$, $k = 1,..,6$, где $C_k$ - циклическая группа порядка $k$, $D_k$ - группа диэдра порядка $2k$. Например, правильно ли я понимаю, что группа $D_2$ быть подгруппой не может ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Что-то у вас то линейные, то проективные. :mrgreen:
$$\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
 0 & 1\\
 \end{pmatrix}
\text{и}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\\
 \end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 21:47 


26/08/09
197
Асгард
Мне нужны конечные подгруппы проективной группы. Я знаю конечные подгруппы в группе $GL_2(\mathbb{Q})$. Как то знание этого факта поможет мне справиться с проективной группой ? ) На первый взгляд мне показалось, что конечные подгруппы в $PGL_2(\mathbb{Q})$ (с точностью до изоморфизма) такие же как и в $GL_2(\mathbb{Q})$ :oops: :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Ну мне тоже так кажется.
Можно накидать образующих. Для $D_2$ я выше привёл.

-- Сб фев 28, 2015 22:09:03 --

А чего кажется?
Элемент $$\begin{pmatrix} 1+2\cos\frac{2\pi}{n} & -1 \\ 1 & 1\\ \end{pmatrix}$$ даёт порядок $n$. Как раз $3,4,6$ дают целые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:10 


26/08/09
197
Асгард
Откуда такая матрица ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
$1+2\cos\frac{2\pi}{n}=1+t_n+1/t_n$, где $t_n$ --- корень из единицы степени $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:23 


26/08/09
197
Асгард
Это понятно ) я имел ввиду, как эту матрицу Вы используете в понимании того, что подгруппы будут те же? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Ну если она правда порядка $n$, то она генерирует циклические. А вместе с $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ диэдральные.

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 22:39 


26/08/09
197
Асгард
Я вот не очень в группах ) поэтому такой вопрос : точно же не могут появиться другие подгруппы, которых нет в $GL_2(\mathbb{Q})$. Просто я взял именно $C_k$ и $D_k$ потому что они описывают конечные подгруппы главной линейной группы. Мы показали, что они лежат в $PGL_2(\mathbb{Q})$. Остается понять, что других нет :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение28.02.2015, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ну а как они появятся, если $PGL$ входит в $GL$?

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
ИСН в сообщении #983862 писал(а):
Ну а как они появятся, если $PGL$ входит в $GL$?
В каком смысле "входит"?

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ну это группа "каких-то" матриц, а то группа "всех" матриц, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
ИСН в сообщении #983993 писал(а):
Ну это группа "каких-то" матриц, а то группа "всех" матриц, нет?
Ну погодите. $\mathbb{Z}$ — это все числа, а $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ —какие-то числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение01.03.2015, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Операция между некоторыми числами в $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ даёт результаты, отличающиеся от операции над (якобы) "теми же" числами в $\mathbb{Z}$. Есть ли этому аналоги здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: PGL(2, Q)
Сообщение02.03.2015, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа

(Оффтоп)

Почему нет? Там прибавится число из $n\mathbb Z$, тут умножится на скалярную матрицу из $Z(\mathrm{GL}(n,F))$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group