Неравенство Пуанкаре для неограниченной области

[Asalex]

Здравствуйте!

Выполняется ли неравенство Пуанкаре для неограниченных областей?

Рассмотрим область $\Omega=[1,+\infty)$, $v\in H_{0}^1([1,+\infty)$, и допустим что выполняется неравенство

$$\int_1^{+\infty}|v'(y)|^2dy\geq C_1\int_1^{+\infty}|v(y)|^2dy,$$

с некоторой константой $C_1$, не зависящей от функции $v.$
Сделаем замену переменных $x=Ry,$ $u(x)=v(y).$ Тогда $u\in H_{0}^1([R,+\infty))$

$$\int_R^{+\infty}|u'(x)|^2dx\geq \frac{C_1}{R^2}\int_R^{+\infty}|u(x)|^2dx.$$

Теперь сделаем замену переменных $z=x-R+1$, $w(z)=u(x),$ и получим $w\in H_0^1([1,+\infty)$ и

$$\int_1^{+\infty}|w'(z)|^2dz\geq \frac{C_1}{R^2}\int_1^{+\infty}|w(z)|^2dz.$$

[Red_Herring]

Ну Вы и ответили (почти) на свой вопрос. Рассмотрим $v$ гладкую с носителем в $(1,2)$ и $v_R(x)=v(x/R)$. Как себя ведут правая и левая части?