2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство Пуанкаре для неограниченной области
Сообщение28.02.2015, 12:27 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Выполняется ли неравенство Пуанкаре для неограниченных областей?

Рассмотрим область $\Omega=[1,+\infty)$, $v\in H_{0}^1([1,+\infty)$, и допустим что выполняется неравенство
$$\int_1^{+\infty}|v'(y)|^2dy\geq C_1\int_1^{+\infty}|v(y)|^2dy,$$
с некоторой константой $C_1$, не зависящей от функции $v.$
Сделаем замену переменных $x=Ry,$ $u(x)=v(y).$ Тогда $u\in H_{0}^1([R,+\infty))$
$$\int_R^{+\infty}|u'(x)|^2dx\geq \frac{C_1}{R^2}\int_R^{+\infty}|u(x)|^2dx.$$
Теперь сделаем замену переменных $z=x-R+1$, $w(z)=u(x),$ и получим $w\in H_0^1([1,+\infty)$ и
$$\int_1^{+\infty}|w'(z)|^2dz\geq \frac{C_1}{R^2}\int_1^{+\infty}|w(z)|^2dz.$$

 
 
 
 Re: Неравенство Пуанкаре для неограниченной области
Сообщение28.02.2015, 13:20 
Аватара пользователя
Ну Вы и ответили (почти) на свой вопрос. Рассмотрим $v$ гладкую с носителем в $(1,2)$ и $v_R(x)=v(x/R)$. Как себя ведут правая и левая части?

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group