Задачка о производных и многочленах

[rishelie]

Вспомнилась вдруг задачка, почему-то связанная в моей памяти с топологией, хотя выглядит чисто как задачка из раздела Анализ-I.
Пусть известно, что у некоторой функции $f(x)$ в каждой точке $x$ существует и равна нулю некоторая производная. Формально:

$$ \forall x: \exists n>0: f^{(n)}(x)=0 $$

Доказать, что $f(x)$ - многочлен.

Вроде ничего не попутал, но доказать что-то никак не получается)
Дальше идеи рассмотреть множества вида $A_n=\{x|\;f^{(n)}(x)=0, f^{(n-1)}(x),\dots, f'(x)\ne 0\}$ и что-то с ними поделать в плане топологии, так и не зашел.
Стыдно, а ведь помнится решение было какое-то очень простое.

[svv]

А если раз $8$ или $11$ проинтегрировать?

Даже не так. Докажите, что если $f'(x)$ многочлен, то и $f(x)$ тоже.

[Pphantom]

Хм... а просто формальное решение уравнения

$$ \frac{d^n f}{dx^n} = 0 $$

чем плохо?

[ИСН]

Тем, что это $n$ - в каждой точке своё. Там хитро как-то.
Было на форуме, но теперь фиг найдёшь.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[Nemiroff]

ИСН в сообщении #983145 писал(а):

Было на форуме, но теперь фиг найдёшь.

Ну откуда такие упаднические настроения?
post86409.html#p86409
«Дифференцируемая функция, нулевые производные...»

И для тех, кто умеет и любит разглядывать буквы других алфавитов
http://mathoverflow.net/questions/34059 ... polynomial

[rishelie]

Ага, все-таки бесконечная дифференцируемость требуется, тогда понятно.

[Руст]

На мой взгляд без бесконечной дифференцируемости не прокатит.
Строим Канторово множество. На n - ом шаге строим функцию:
$f_n(x)=1,$ если в записи целого числа$[3^kx]$ в троичной системе исчисления последняя цифра не равна 1 или равно 1, но есть и другая цифра, равная 1,
$f_n(x)=1-y^n(1-y)^n, y=3^nx-[3^nx] $ иначе. Возьмем произведение.
За исключением Канторова множества многочлен. В точках из Канторова множества функция равна1, производная нулю.

[ИСН]

Руст в сообщении #983282 писал(а):

Строим Канторово множество. На n - ом шаге строим функцию:

В такой формулировке я что-то не пойму, почему было не сделать все эти шапочки одного порядка.

[Руст]

Проще надо было брать сумму от $1-f_n(x)$ но это все равно, отличие только в том,
что функция на Канторовом множестве 1, когда произведение. Производная там тоже равно нулю.

[Руст]

Можно и без Канторова множества.
Задаем функцию $f(x)=\sum_n f_n(x)$.
$f_n(x)=0, x(x-a_n)\ge 0$,
$f_n(x)=\frac{1}{n^n}x^{2}(x-a_n)^{2n}, 0<x<a_n=2^{-n}$.
Ясно, что $f(x)$ в некоторой окрестности любой точки, отличной от $0, 2^{-n}$
является многочленом. А в этих исключительных точках некоторая производная равна 0, а в 0 первая производная равна 0.

[ИСН]

Можно и без бесконечности. Двух таких кусков хватит. Какая-то производная 0? Да. Всё вместе - многочлен? Нет.