Непродолжаемые решения диффура

[Ward]

Здравствуйте!

Рассматриваются непродолжаемые решения задачи:

$$\begin{cases} \dot{x}=2x-4y-e^{-t} \\ \dot{y}=3x-6y+5t^{-1/2} \end{cases}$$

с условиями $x(1)=3, \dot{x}(1)=-2$
а) Сколько их?
б) На каком интервале они определены?
в) Устойчивы ли они по Ляпунову, асимптотически?

Моя попытка решения:
а) Находим, что $y(1)=\dfrac{8-e^{-1}}{4}$ и $\dot y(1)=\dfrac{3e^{-1}+4}{2}$. По теореме существования и единственности получаем, что непродолжаемых решений всего 1.
б) Они определены на интервале $(0; +\infty)$
в) Избавимся в нашей задаче от последних членов. Для этого сделаем замену: $\tilde{x}=x-x_0, \tilde{y}=y-y_0$, где $x_0, y_0$ - решения данной системы. Подставляя все это мы получаем вот что:

$$\begin{cases} \dot{\tilde{x}}=2\tilde{x}-4\tilde{y} \\ \dot{\tilde{y}}=3\tilde{x}-6\tilde{y} \end{cases}$$

Как уже такую систему исследовать на устойчивость по Ляпунову? Обычные критерии не подходт.
Подскажите пожалуйста.

[VanD]

Ward в сообщении #983002 писал(а):

Как уже такую систему исследовать на устойчивость по Ляпунову?

Решите её и смотрите по определению. Чему у Вас равно $\frac {d \tilde{y}} {d \tilde{x}}$ в силу системы?

А вообще непродолжаемость Вы как-то обосновывали или тут это слово так просто употребили?

[Ward]

А как её решить? Составить матрицу и затем собственные значения?

[ewert]

Ward в сообщении #983002 писал(а):

а) Сколько их?

Несколько странный вопрос. Как можно назвать непродолжаемым решение, продолжаемое на всю область определения самой задачи?... Опять сочинитель сочинял, не приходя в сознание.

Ward в сообщении #983002 писал(а):

Как уже такую систему исследовать на устойчивость по Ляпунову? Обычные критерии не подходт.

Критерии бывают разные. И поскольку в любом варианте они охватывают любые однородные системы с постоянными коэффициентами -- заведомо любые и подойдут.

[Ward]

ewert
Как я понимаю следует написать матрицу и найти ее собственные значения верно?

[ewert]

Ward в сообщении #983129 писал(а):

Как я понимаю следует написать матрицу и найти ее собственные значения верно?

Вот не знаю и даже не хочу знать. Вы ведь упоминали какие-то там критерии. Сформулируйте хотя бы один, который Вы пытались применить. А если ничего не пытались -- о чём вообще разговор?...

[Ward]

Ну например первая теорема Ляпунова.
Находим собственные значения, которые равны $-2+2i\sqrt{2}$ и $-2-2i\sqrt{2}$. Так как вещественные части отрицательные то они устойчивы по Ляпунову.
Вот так

[VanD]

Ward в сообщении #983139 писал(а):

Находим собственные значения, которые равны $-2+2i\sqrt{2}$ и $-2-2i\sqrt{2}$

Не похоже на правду.

[Ward]

Ааа ну да.
Собственные значения равны 0 и -4

-- 27.02.2015, 00:11 --

Но для этих собственных значений ни один критерий не подходит

[VanD]

Ward в сообщении #983159 писал(а):

Но для этих собственных значений ни один критерий не подходит

В такой простой ситуации можно и без них совсем. Систему на $(\tilde x, \tilde y)$ можно решить не особо заморачиваясь. Здесь легко найти первый интеграл, который прямо таки напрашивается. Об этом я уже писал выше.

[Ward]

Т.е. нужно найти $d\tilde{y}/d\tilde{x}$ ??

[Oleg Zubelevich]

Ward в сообщении #983159 писал(а):

Но для этих собственных значений ни один критерий не подходит

Линейная система $\dot x=Ax$ с постоянной матрицей устойчива по Ляпунову (вправо по $t$) тогда и только тогда ,когда вещественные части всех корней характеристического полинома неотрицательны, причем корням с нулевыми действительными частями соответствуют одномерные жордановы клетки.
Линейная неоднородная система $\dot x=Ax+f(t),\quad f\in C[0,+\infty)$ устойчива тогда и только тогда, когда устойчива однородная система.

[VanD]

Oleg Zubelevich в сообщении #983173 писал(а):

Линейная система $\dot x=Ax$ с постоянной матрицей устойчива по Ляпунову (вправо по $t$) тогда и только тогда ,когда вещественные части всех корней характеристического полинома неотрицательны, причем корням с нулевыми действительными частями соответствуют одномерные жордановы клетки.

"Неположительны" наверно имелось в виду?

[Oleg Zubelevich]

да, разумеется, pardon

[Ward]

Oleg Zubelevich
Но ведь в моём случае вещественные равны 0 и -4. Так что написанное Вами походу не подходит.