Сферический маятник в кватернионах

[Ingus]

Если не ошибаюсь, то в векторах уравнение сферического маятника выглядит так:

$\mathbf{\ddot{r}}=\mathbf{g}-\frac{1}{l^2}(\mathbf{g}\cdot\mathbf{r}+\mathbf{\dot{r}}^2)\mathbf{r}$

Поворот вектора скорости вершины маятника (грузика) вокруг оси, проходящей через стержень, можно задать кватернионом:
- скалярная часть - угол поворота из начального положения вокруг оси, проходящей через стержень, в момент времени $t$,
- векторная часть - направляющие косинусы оси, то есть стержня, в тот же момент времени.
Как будет выглядеть уравнение сферического маятника в кватернионной записи?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: дискуссионности не видно.

[Munin]

Каковы ваши собственные попытки решения?

[Ingus]

Попытки пока состоят в том, чтобы понять как Максвелл записал свои уравнения в кватернионах.



Он записывает векторное произведение скорости на вектор магнитной индукции, берет как он говорит "векторную часть" произведения векторов (??)($V.$) и называет это кватернионной записью. Что я неправильно понимаю?

-- 25.02.2015, 20:04 --

Из Вики...Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году[3] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[4].

Теперь все встало на места... Векторы - это кватернионы, скалярная часть которых равна нулю! Правильно?

-- 25.02.2015, 20:07 --

То есть его кватернионы не имеют никакого отношения к вращениям, которые совершает мой сферический маятник...

[Oleg Zubelevich]

кватернионы имеют прямое отношение к движению твердого тела с неподвижной точкой. сферический маятник это слишком вырожденная штука

[Munin]

Ingus в сообщении #982507 писал(а):

Попытки пока состоят в том, чтобы понять

Это не попытки что-то сделать. Не считается.

Ingus в сообщении #982507 писал(а):

Что я неправильно понимаю?

Что надо сначала почитать в учебнике, что такое кватернионы.

Ingus в сообщении #982507 писал(а):

Теперь все встало на места... Векторы - это кватернионы, скалярная часть которых равна нулю! Правильно?

Нет, неправильно.

Ingus в сообщении #982507 писал(а):

То есть его кватернионы не имеют никакого отношения...

Не бывает "его кватернионов". Бывают просто кватернионы.

[Ingus]

Munin в сообщении #982714 писал(а):

Что надо сначала почитать в учебнике, что такое кватернионы.

Я учил читал, профессор. В приведенном мной фрагменте текста, принадлежащего перу Максвелла, я увидел векторное произведение, которое он называет "векторная часть произведения" вектора скорости на вектор магнитной индукции. Я так понял, скорость и магнитная индукция это кватернионы с нулевой скалярной частью, раз он их векторами называет. Вы ведь прочли цитату? Так вот. В чем "кватернионность" записи у Максвелла? Он же не говорит о вращении на определенный угол вокруг определенной оси...

-- 26.02.2015, 12:07 --

Oleg Zubelevich в сообщении #982513 писал(а):

кватернионы имеют прямое отношение к движению твердого тела с неподвижной точкой. сферический маятник это слишком вырожденная штука

Болотин и Карапетян говорят, что любое вращение задается кватернионом. Это может быть вращение радиус-вектора вершины маятника, или к примеру вращение вектора скорости вершины маятника. Угловая скорость опять же записывается в кватернионах. Вот я и подумал, может можно состряпать конструкцию для сферического маятника в кватернионах?
И еще. Можно ли искать решение дифференциального уравнения в векторах, не переходя к координатам?

(Оффтоп)

Я как то читал Ваше замечание относительно представления твердого тела эквивалентным набором материальных точек. Это действительно возможно? Скажем взять и заменить однородный диск на орбите четырьмя грузами, или эллипсоид вращения шестью?И посмотреть, как там связи растягиваются сжимаются, как либрация происходит, в цифре так сказать

[Munin]

Ingus в сообщении #982774 писал(а):

Я так понял, скорость и магнитная индукция это кватернионы с нулевой скалярной частью, раз он их векторами называет. Вы ведь прочли цитату? Так вот. В чем "кватернионность" записи у Максвелла?

Вот в этом и кватернионность: используются величины, представленные кватернионами, и с ними проделываются кватернионные операции.

Ingus в сообщении #982774 писал(а):

В чем "кватернионность" записи у Максвелла? Он же не говорит о вращении на определенный угол вокруг определенной оси...

А при чём здесь вообще "вращение на определенный угол вокруг определенной оси"?

Ingus в сообщении #982774 писал(а):

Болотин и Карапетян говорят, что любое вращение задается кватернионом.

Это не значит, что любой кватернион обозначает вращение. Вы явно не то читали.

Ingus в сообщении #982774 писал(а):

И еще. Можно ли искать решение дифференциального уравнения в векторах, не переходя к координатам?

Да, все так и делают.

[Ingus]

Munin в сообщении #982857 писал(а):

Это не значит, что любой кватернион обозначает вращение

Согласен. Но оказывается, у кватерниона как минимум две ипостаси - с нулевой скалярной частью он обозначает векторные физические величины, а с ненулевой - может описывать повороты вектора в пространстве.

-- 26.02.2015, 17:41 --

Munin в сообщении #982857 писал(а):

Да, все так и делают.

Формула Тейлора для векторной функции?

-- 26.02.2015, 17:58 --

Munin в сообщении #982857 писал(а):

Вот в этом и кватернионность: используются величины, представленные кватернионами, и с ними проделываются кватернионные операции.

Вы точно читали Максвелла? Используются величины, представленные векторами (он таки говорит - скорость- вектор, магнитная индукция - вектор), и с ними проделываются векторные операции (площадь параллелограмма- помните?). А потом бац! -электродвижущая напряженность записана в кватернионной форме.

[Munin]

Ingus в сообщении #982911 писал(а):

Согласен. Но оказывается, у кватерниона как минимум две ипостаси - с нулевой скалярной частью он обозначает векторные физические величины, а с ненулевой - может описывать повороты вектора в пространстве.

Почитайте учебник - и "сколько нам открытий чудных...".

Ingus в сообщении #982911 писал(а):

Формула Тейлора для векторной функции?

Клубничное желе со взбитыми сливками?

Ingus в сообщении #982911 писал(а):

Вы точно читали Максвелла?

Я - да. Что интересно, и не только Максвелла. Это в данном случае принципиально.

[Ingus]

Munin в сообщении #982942 писал(а):

Почитайте учебник - и "сколько нам открытий чудных...".

Подскажете учебник, где векторные ДУ решают в векторах, не разваливая ДУ на систему ДУ по координатам?

[Nemiroff]

Ingus в сообщении #983334 писал(а):

Подскажете учебник, где векторные ДУ решают в векторах, не разваливая ДУ на систему ДУ по координатам?

Подскажете такой, где "разваливают"?

[rustot]

Ingus в сообщении #982507 писал(а):

Попытки пока состоят в том, чтобы понять как Максвелл записал свои уравнения в кватернионах.

по мне так это покомпонентная запись обычных векторных операций

если обозначить $P Q R \Rightarrow \vec{a}$, $a b c \Rightarrow \vec{b}$, $F G H \Rightarrow \vec{c}$

то в краткой форме это выглядит как $\vec{a} = \vec{v}\times\vec{b} - \frac{d}{dt} \vec{c} - \nabla \Psi$

мой перевод обозначений в статье максвелла на современный язык:

$p,q,r \Rightarrow \vec{j}$
$f,g,h \Rightarrow \vec{P}$ (но по моему с обратным знаком, не уверен)
$P,Q,R \Rightarrow \vec{E_{ex}}$ (не чисто электрическое поле, а "поле внешних сил", $\frac{\vec{F}}{q}$)
$F,G,H \Rightarrow \vec{A}$
$\alpha,\beta,\gamma \Rightarrow \vec{H}$
$\mu \Rightarrow \mu$
$\Psi \Rightarrow \varphi$

[Munin]

rustot в сообщении #983341 писал(а):

по мне так это покомпонентная запись обычных векторных операций

Верно, но в тот момент они ещё "не полностью произошли" из кватернионных. Так что можно воспринимать и так и так.

Формулу вы недоперевели на современный язык: $\vec{E}_{ex}=\vec{v}\times\vec{B}-\frac{\partial}{\partial t}\vec{A}-\nabla\varphi.$

[Ingus]

Nemiroff в сообщении #983337 писал(а):

Подскажете такой, где "разваливают"?

Болотин, Карапетян - в сферические координаты.
Бухгольц - в декартовы.

Я ведь что хотел сказать: на решение скалярного линейного ДУ второго порядка просятся косинус и синус; для решения нелинейного хорош ряд какой-нибудь (Маклорена, Фурье), а для векторного уравнения можно найти решение в виде ряда с векторными коэффициентами. Глупости говорю? Так не делают?