2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фильтрованное произведение
Сообщение27.01.2008, 15:28 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Задача: Показать, что если мощности всех сомножителей не превосходят натурального n, то мощность ультрапроизведения не превосходит n.

Есть идея, что нужно написать истинное предложение сигнатуры <=>, которое верно во всех нормальных моделях, содержащих не менее (или ровно столько - надо разобраться ещё) n элементов, и ложное в остальных нормальных моделях, а затем применить теорему Лося. Но не понятно как это связать с мощностью, поэтому идея временно отклонена, да и построить предложение пока не смогли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2008, 15:38 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Совершенно верная идея! Только почему "не менее"? Надо наоборот, "не более".

Предложение записывается так:

$$
\exists x_1 \exists x_2 \ldots \exists x_n (\neg(x_1 = x_2) \mathbin{\&} \neg(x_1 = x_3) \mathbin{\&} \ldots \mathbin{\&} \neg(x_{n-1} = x_n)),
$$

в области действия квантора $n(n-1)/2$ конъюнктивных членов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2008, 20:41 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Профессор Снэйп, просто не понятна связь этого всего с искомой мощностью. А насчет формулы, то я нашел похожую в задачнике (там только кванторы другие, нет отрицаний и дизъюнкция - почти эквивалентна Вашей, если поставить отрицание перед каждым квантором), только там сказано почему-то именно "не менее", а в самой формуле n+1 переменных. Потом тоже ссылка на теорему Лося и про мощность ни слова. Наверное это очевидный факт, но я его никак не пойму :( , обьясните пожалуйста. Кстати, в теме рядом Someone изложил примерный план нахождения количества ультрафильтров - вроде Вас это тоже интересовало.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2008, 04:06 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Угу. Похоже, вчера спросонья немного напутал. Сказал, что должно быть "не более" (и правильно сказал), а предложение записал для "не менее".

Впрочем, одно в другое тривиально перетекает. Если взять отрицание предложения, утверждающего, что в модели $\geqslant n$ элементов, то получим предложение, утверждающее, что в модели $\leqslant n-1$ элементов :)

Какая там "связь с искомой мощностью" Вам непонятна, я так и не понял. Если предложение выполнено на каждом элементе ультрапроизведения, то по теореме Лося оно выполнено на всём ультрапроизведении. То есть если на каждом элементе ультрапроизведения выполнено предложение, утверждающее, что в модели не более чем $n$ элементов, то в ультрапроизведении тоже будет не более чем $n$ элементов. Не так ли? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2008, 16:10 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Да, спасибо! Я наконец-то разобрался!!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group