Фильтрованное произведение

[Spook]

Задача: Показать, что если мощности всех сомножителей не превосходят натурального n, то мощность ультрапроизведения не превосходит n.

Есть идея, что нужно написать истинное предложение сигнатуры <=>, которое верно во всех нормальных моделях, содержащих не менее (или ровно столько - надо разобраться ещё) n элементов, и ложное в остальных нормальных моделях, а затем применить теорему Лося. Но не понятно как это связать с мощностью, поэтому идея временно отклонена, да и построить предложение пока не смогли.

[Профессор Снэйп]

Совершенно верная идея! Только почему "не менее"? Надо наоборот, "не более".

Предложение записывается так:

$$ \exists x_1 \exists x_2 \ldots \exists x_n (\neg(x_1 = x_2) \mathbin{\&} \neg(x_1 = x_3) \mathbin{\&} \ldots \mathbin{\&} \neg(x_{n-1} = x_n)), $$

в области действия квантора $n(n-1)/2$ конъюнктивных членов.

[Spook]

Профессор Снэйп, просто не понятна связь этого всего с искомой мощностью. А насчет формулы, то я нашел похожую в задачнике (там только кванторы другие, нет отрицаний и дизъюнкция - почти эквивалентна Вашей, если поставить отрицание перед каждым квантором), только там сказано почему-то именно "не менее", а в самой формуле n+1 переменных. Потом тоже ссылка на теорему Лося и про мощность ни слова. Наверное это очевидный факт, но я его никак не пойму , обьясните пожалуйста. Кстати, в теме рядом Someone изложил примерный план нахождения количества ультрафильтров - вроде Вас это тоже интересовало.

[Профессор Снэйп]

Угу. Похоже, вчера спросонья немного напутал. Сказал, что должно быть "не более" (и правильно сказал), а предложение записал для "не менее".

Впрочем, одно в другое тривиально перетекает. Если взять отрицание предложения, утверждающего, что в модели $\geqslant n$ элементов, то получим предложение, утверждающее, что в модели $\leqslant n-1$ элементов

Какая там "связь с искомой мощностью" Вам непонятна, я так и не понял. Если предложение выполнено на каждом элементе ультрапроизведения, то по теореме Лося оно выполнено на всём ультрапроизведении. То есть если на каждом элементе ультрапроизведения выполнено предложение, утверждающее, что в модели не более чем $n$ элементов, то в ультрапроизведении тоже будет не более чем $n$ элементов. Не так ли?

[Spook]

Да, спасибо! Я наконец-то разобрался!!!