Новый раздел геометрии?

[vicvolf]

bayak в сообщении #919044 писал(а):

Поищите тогда теорию, на оснловании которой выводится форма эритроцитов (красных кровяных телец). Вдруг она и Вам подходит.

Если модель описания процесса не подходит под теорию и огрубление модели (подгонка под теорию) убирает существенные детали, то данная теория обобщается с учетом данной модели. Если такое обобщение не возможно, то ищется новая теория, которая описывает в том числе данную модель.

[kavict]

Munin в сообщении #906969 писал(а):

А это вообще мера?

Думаю этот вопрос достоин отдельной темы в разделе "Помогите решить / разобраться".

[kavict]

Ранее было приведено выражение, полученное из физики процесса деформации жидкого тела

$$H=\frac 1 2\frac{dS}{dM}$$

где:
$H$ - средняя кривизна свободной поверхности жидкости;
$dS$ - элементарное приращение площади поверхности жидкого тела при деформации;
$dM$ - элементарный перемещенный объем.

Оказалось, что это же выражение легко получить, рассматривая только геометрический аспект процесса деформации жидкого тела в прямоугольном параллелепипеде. Примем, что деформация такая, что хотя бы под некоторыми ребрами контейнера образовались цилиндрические участки свободной поверхности жидкости. На одном из таких цилиндрческих участков выделим элемент поверхности единичной длины. Тогда трехмерная задача сводится к плоской, если рассматривать сечение жидкости - объем сводится к площади сечения, а площадь поверхности - к длине контура, как показано на рисунке:

Здесь дуга радиуса $r$ является сечением свободной поверхности жидкости в некотором состоянии деформации жидкого тела. Теперь добавим деформацию - например, чуть-чуть передвинем одну из стенок параллелепипеда, уменьшив его внутренний объем. Жидкость при этом сильнее вдавится в двугранные углы контейнера, уменьшив радиус свободной поверхности - это состояние показано дугой радиуса $r_2$. При этом заштрихованная область, площадью $\Delta S$, является сечением перемещенного объема жидкости, который вынудил ее свободную поверхность переместиться. Увеличение площади поверхности жидкого тела на цилиндрическом участке будет выражаться разностью:

$$\Delta L=L_{ADEFC}-L_{ABC}$$

Выразим эти величины через радиусы $r$ и $r_2$:

$$\Delta S=r^2\left(1-\frac \pi 4\right)-r_2^2\left(1-\frac \pi 4\right)=(r^2-r_2^2)\left(1-\frac \pi 4\right)$$

$$\Delta L=2(r-r_2)+\frac \pi 2 r_2-\frac\pi 2 r=2\left(1-\frac \pi 4\right)(r-r_2)$$

Найдем отношение:

$$\frac{\Delta L}{\Delta S}=\frac{2\left(1-\frac \pi 4\right)(r-r_2)}{(r^2-r_2^2)\left(1-\frac \pi 4\right)}=\frac 2{r+r_2}$$

Примем $r_2=r-\Delta r$ и найдем предел:

$$\lim_{\Delta r \to 0}\frac{\Delta L}{\Delta S}=\frac 2 {r+r-\Delta r}=\frac 1r$$

Но, как известно, средняя кривизна поверхности кругового цилиндра:

$$H=\frac 1 2\frac 1 r$$

откуда получаем исходное выражение.

[kavict]

И еще одно наблюдение.
Известно, что порция жидкости в свободном состоянии (без сил тяжести и инерции) принимает форму шара, допустим, радиуса $r$. Теперь "дольем" в этот шар еще немного жидкости $\Delta M$, и его радиус увеличится до $r_2$. Выразим через эти радиусы приращение объема и площади поверхности шара:

$$\Delta M=\frac 4 3 \pi (r_2^3-r^3)$$

$$\Delta S=4\pi(r_2^2-r^2)$$

Найдем отношение:

$$\frac {\Delta S}{\Delta M}=\frac {3 \ 4 \pi (r_2-r)(r_2+r)}{4\pi(r_2-r)(r_2^2+r_2r+r^2)}=\frac{3(r_2+r)}{r_2^2+r_2r+r^2}$$

и найдем предел:

$$\lim_{r_2 \to r}\frac {\Delta S}{\Delta M}=\frac{3 \ 2 r}{3r^2}=\frac 2 r$$

Но это есть удвоенная средняя кривизна поверхности шара.
Таким образом, и в этом случае получается:

$$\frac {dS} {dM}=2H$$

Интересно, что здесь не имеет значения, перемещается ли некоторый объем жидкости
внутри жидкого тела в результате его деформации, или этот объем вливается в тело извне.

[Deggial]

Ответ на стартовый вопрос темы получен, новых вопросов не последовало, обсуждение не развивается и тема превратилась в блог. Посему закрыто.