Кольцо является полем т. и т. т. когда все идеалы тривиальны

[Nurzery[Rhymes]]

Задача: доказать, что кольцо является полем тогда и только тогда, когда все его идеалы тривиальны.

1) Если $K$ - поле, то все его идеалы тривиальны.

Пусть $K$ - поле, и $I \subset K$ - какой-то нетривиальный идеал. Тогда если $x \in I$, то он одновременно принадлежит полю $K$, в котором он обратим. То есть $\exists {x}^{-1} : x{x}^{-1} = 1$. Но тогда по определению идеала $x{x}^{-1} \in I$, то есть идеал содержит единицу и поэтому совпадает с полем, а значит, тривиален.

2) Если все идеалы тривиальны, то $K$ - поле.

Пусть все идеалы тривиальны. Рассмотрим идеал $Kx = (x) = \left\lbrace kx | x \in K \right\rbrace$ для любого $x \in K$. По условию этот идеал тривиален и совпадает с $K$, поэтому содержит единицу. То есть $\exists y \in K : xy = 1 \in (x)$, поэтому $x$ обратим. В силу произвольности выбора $x$ все элементы обратимы, а значит, $K$ - поле.

Правильно ли я доказал? Мне кажется, я слишком неясно и с провалами развиваю мысль.

[AV_77]

А как у вас кольцо определяется? Просто в такой формулировке это утверждение неверное.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #982174 писал(а):

А как у вас кольцо определяется? Просто в такой формулировке это утверждение неверное.

Коммутативное кольцо с единицей. Задача из первой главы какой-то книги по алгебраической геометрии.

[AV_77]

А, ну тогда нормально.