2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кольцо является полем т. и т. т. когда все идеалы тривиальны
Сообщение24.02.2015, 23:28 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Задача: доказать, что кольцо является полем тогда и только тогда, когда все его идеалы тривиальны.

1) Если $K$ - поле, то все его идеалы тривиальны.

Пусть $K$ - поле, и $I \subset K$ - какой-то нетривиальный идеал. Тогда если $x \in I$, то он одновременно принадлежит полю $K$, в котором он обратим. То есть $\exists {x}^{-1} : x{x}^{-1} = 1$. Но тогда по определению идеала $x{x}^{-1} \in I$, то есть идеал содержит единицу и поэтому совпадает с полем, а значит, тривиален.

2) Если все идеалы тривиальны, то $K$ - поле.

Пусть все идеалы тривиальны. Рассмотрим идеал $Kx = (x) = \left\lbrace kx | x \in K \right\rbrace$ для любого $x \in K$. По условию этот идеал тривиален и совпадает с $K$, поэтому содержит единицу. То есть $\exists y \in K : xy = 1 \in (x)$, поэтому $x$ обратим. В силу произвольности выбора $x$ все элементы обратимы, а значит, $K$ - поле.

Правильно ли я доказал? Мне кажется, я слишком неясно и с провалами развиваю мысль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо является полем т. и т. т. когда все идеалы тривиальны
Сообщение25.02.2015, 00:05 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
А как у вас кольцо определяется? Просто в такой формулировке это утверждение неверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо является полем т. и т. т. когда все идеалы тривиальны
Сообщение25.02.2015, 00:14 
Аватара пользователя


03/11/14

395
AV_77 в сообщении #982174 писал(а):
А как у вас кольцо определяется? Просто в такой формулировке это утверждение неверное.

Коммутативное кольцо с единицей. Задача из первой главы какой-то книги по алгебраической геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо является полем т. и т. т. когда все идеалы тривиальны
Сообщение25.02.2015, 00:19 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
А, ну тогда нормально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group