Вывод формулы метода хорд

[Le'an]

Добрый день!
Помогите пожалуйста разобраться с выводом формул для метода хорд численного решения уравнений.

Нам дано уравнение $f(x) = 0, a \leqslant x \leqslant b.$

В учебниках процесс вывода формул идёт следующим образом. Сначала получают уравнение хорды, проходящей через точки $(a,f(a))$, $(b,f(b))$. Оно имеет вид ($y = 0$, т.к. мы ищем корень уравнения)

$x = a - \frac{f(a)}{f(b)-f(a)}(b-a).$

Здесь всё понятно - записали уравнение прямой, подставили нужные координаты.

Далее предполагают, что вторая производная сохраняет знак на заданном отрезке (примем, что $f''(x)>0$) и рассматривают два случая: $f(a) >0$ и $f(a)<0$.

В первом случае неподвижным будет конец $a$ и формула примет вид
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f(x_n)-f(a)}(x_n - a).$

Во втором случае неподвижен конец $b$ и формула запишется в виде
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f(b)-f(x_n)}(b - x_n).$

Вот здесь я не могу понять, откуда берутся эти формулы.

Я рассуждаю следующим образом. Если $f(a) > 0$ и неподвижен конец $a$, то на каждом шаге хорда должна проходить через точки $(a,f(a))$ и $(x_n,f(x_n))$. Записываю уравнение прямой, проходящей через две точки:
$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}.$
У нас $x_1 = a$, $y_1 = f(a)$, $x_2 = x_n$, $y_2 = f(x_n)$. Кроме того, $y = 0$.
Подставляем эти значения в уравнение прямой и выражаем $x$. Получаем
$x = a - \frac{f(a)}{f(x_n)-f(a)}(x_n - a)$
Формула похожа, но неправильная.

А если проделать то же самое для второго случая, то есть когда неподвижен конец $b$ и на каждом шаге хорда должна проходить через точки $(x_n,f(x_n))$ и $(b,f(b))$, то получается та самая формула, которая записана для второго случая.

В чём ошибочны мои рассуждения и как из исходной формулы, которую мы записывали для произвольных двух точек $a$ и $b$, перейти к этим двум случаям и соответствующим формулам?

[svv]

Формулу
$x = a - \frac{f(a)}{f(b)-f(a)}(b-a)$
либо несложными преобразованиями — например, записав числитель как $f(b)-(f(b)-f(a))$,
либо поменяв местами $a$ и $b$ (ведь $a<b$ нигде не требуется),
можно также записать в виде
$x = b - \frac{f(b)}{f(b)-f(a)}(b-a)$
Отсюда Ваш первый случай и получается.
Тот же трюк можно проделать с Вашей формулой, которая «похожа», и она тоже правильная.

[Le'an]

svv

Большое спасибо за помощь! Действительно, если числитель моей "неправильной" формулы переписать в виде $f(x_n)-(f(x_n)-f(a))$, то получится как раз то, что нужно.