Добрый день!
Помогите пожалуйста разобраться с выводом формул для метода хорд численного решения уравнений.
Нам дано уравнение

В учебниках процесс вывода формул идёт следующим образом. Сначала получают уравнение хорды, проходящей через точки

,

. Оно имеет вид (

, т.к. мы ищем корень уравнения)

Здесь всё понятно - записали уравнение прямой, подставили нужные координаты.
Далее предполагают, что вторая производная сохраняет знак на заданном отрезке (примем, что

) и рассматривают два случая:

и

.
В первом случае неподвижным будет конец

и формула примет вид

Во втором случае неподвижен конец

и формула запишется в виде

Вот здесь я не могу понять, откуда берутся эти формулы.
Я рассуждаю следующим образом. Если

и неподвижен конец

, то на каждом шаге хорда должна проходить через точки

и

. Записываю уравнение прямой, проходящей через две точки:

У нас

,

,

,

. Кроме того,

.
Подставляем эти значения в уравнение прямой и выражаем

. Получаем

Формула похожа, но неправильная.
А если проделать то же самое для второго случая, то есть когда неподвижен конец

и на каждом шаге хорда должна проходить через точки

и

, то получается та самая формула, которая записана для второго случая.
В чём ошибочны мои рассуждения и как из исходной формулы, которую мы записывали для произвольных двух точек

и

, перейти к этим двум случаям и соответствующим формулам?