Энергия и принцип относительности.

[С.Мальцев]

Cos(x-pi/2) в сообщении #980058 писал(а):

замечу, что Ваша идея с платформой очень кстати

Мне и самому понравилась.

Cos(x-pi/2) в сообщении #980058 писал(а):

только в роли платформы надо рассматривать саму Землю. Считайте что Земля это длинная платформа массой $M$ под автомобилем.

Само собой, можно и так, но с автомобилем на платформе – куда нагляднее получается. Такую платформу вполне можно реально разогнать до скорости $u$ затратив несколько мегаджоулей, с Землей немного сложнее...

Cos(x-pi/2) в сообщении #980058 писал(а):

Расход массы самого бензина в наших идеализированных задачках можно не учитывать, т.е. считать, что он очень лёгкий.

Ну зачем же? Берем электромобиль с питанием от аккумулятора или солнечных батарей, можно и заводной автомобиль (с пружинкой), да и мало ли что еще. Важен же принцип.
Если уж совсем неймется, то можно и к бензиновому автомобилю баллон со сжатым воздухом приторочить, через редуктор подавая воздух в двигатель, а выхлопные газы собирать в эластичный контейнер. Тогда и масса останется неизменной, и rustot наконец-то сможет убедиться, что энергоемкость топлива не изменяется при смене ИСО.

Cos(x-pi/2) в сообщении #980058 писал(а):

Вместо всех числовых данных лучше всё-таки писать буквенные выражения.

Ну, сначала догадка на интуитивном уровне, потом подтвердившаяся числово, теперь можно и буквенно. Берем формулу:

$Q'=T_2-T_1=\frac{M(u-v_p)^2+m(u+v_a)^2}2-\frac{Mu^2+mu^2}2\, ,$

раскрываем скобки:

$Q'= \frac{Mu^2-2Muv_p+Mv_p^2+mu^2+2muv_a+mv_a^2-Mu^2-mu^2}2\, ,$

сокращаем:

$Q'= \frac{ Mv_p^2+mv_a^2-2Muv_p+ 2muv_a}2$

и там, где еще осталась скорость $u$, вместо $v_a$ и $v_p$ подставляем $v_a=\tfrac{Mv_1}{M+m}$ и $v_p= \frac{m v_1}{M+m}$:

$Q'=\frac{Mv_p^2+mv_a^2-\frac{2Mmuv_1}{M+m}+\frac{2Mmuv_1}{M+m}}2\, ,$

еще раз сокращаем:

$Q'= \frac{Mv_p^2+mv_a^2}2=Q$

и получаем формулу для нулевой начальной скорости автомобиля и платформы в СО Земли, что и требовалось доказать. Затраченная энергия – инвариант.

[С.Мальцев]

Cos(x-pi/2) в сообщении #980058 писал(а):

в итоге удастся сформулировать понятие "внутренняя энергия системы", которая в нерелятивистском приближении не зависит от выбора ИСО

Так и в релятивизме "внутренняя энергия системы" совершенно не зависит от выбора ИСО, в чем несложно убедиться, рассмотрев аналогичный (вроде автомобиля и платформы) пример – частный случай распада частицы.

Представим, что покоящаяся относительно лабораторной ИСО частица распадается на две одинаковых частицы массой $m$, движущихся в противоположных направлениях со скоростью $w$. Зная массу и скорость каждой из частиц, несложно вычислить полную энергию каждой из них:

$E_m=\frac m{\sqrt{1-w^2}}\, ,$

кинетическую энергию каждой из них:

$T_m=\frac m{\sqrt{1-w^2}}-m\, ,$

массу распавшейся частицы:

$M=\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}$

и затраченную на ускорение частиц энергию:

$Q=M-2m=2\left(\frac m{\sqrt{1-w^2}}-m\right)=2T_m\, .$

Теперь представим, что частица массой $M$ движется по оси $x$ относительно лабораторной ИСО со скоростью $v$ и кинетической энергией:

$T_M=\frac M{\sqrt{1-v^2}}-M\, .$

После распада частица 1 движется по оси $x$ со скоростью $u_1=\tfrac{v-w}{1-vw}$, а частица 2 движется по оси $x$ со скоростью $u_2=\tfrac{v+w}{1+vw}$. Находим кинетическую энергию частицы 1:

$T_1=\frac m{\sqrt{1-u_1^2}}-m$

и кинетическую энергию частицы 2:

$T_2=\frac m{\sqrt{1-u_2^2}}-m\, .$

Отсюда находим энергию $Q'$, затраченную на ускорение частиц 1 и 2:

$Q'=T_1+T_2-T_M$

и обнаруживаем, что $Q'=Q$.


Чтобы убедиться в том, что действительно $Q'=Q$, берем формулу:

$Q'=T_1+T_2-T_M=\frac m{\sqrt{1-u_1^2}}-m+\frac m{\sqrt{1-u_2^2}}-m-\left( \frac M{\sqrt{1-v^2}}-M\right) $

и подставив в нее $M=\tfrac {2m}{\sqrt{1-w^2}}$, получаем:

$ Q'=\frac m{\sqrt{1-u_1^2}}+\frac m {\sqrt{1-u_2^2}}-\frac {\left(\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}\right) }{\sqrt{1-v^2}}+\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}-2m $

Затем, подставляем выражения $u_1=\tfrac{v-w}{1-vw}$ и $u_2=\tfrac{v+w}{1+vw}$:

$ Q'=\frac m{\sqrt{1-\frac{(v-w)^2}{(1-vw)^2}}}+\frac m {\sqrt{1-\frac{(v+w)^2}{(1+vw)^2}}}-\frac {2m}{\sqrt{(1-v^2)( 1-w^2)}}+\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}-2m\, , $

преобразовываем:

$ Q'=\frac {m(1-vw)}{\sqrt{(1-vw)^2-(v-w)^2}}+\frac {m(1+vw)} {\sqrt{(1+vw)^2-(v+w)^2}}-\frac {2m}{\sqrt{1-v^2-w^2+(vw)^2}}+\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}-2m $

$ Q'=\frac {m-mvw}{\sqrt{1-v^2-w^2+(vw)^2}}+\frac {m+mvw} {\sqrt{1-v^2-w^2+(vw)^2}}-\frac {2m}{\sqrt{1-v^2-w^2+(vw)^2}}+\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}-2m $

$ Q'=\frac {2m} {\sqrt{1-v^2-w^2+(vw)^2}}-\frac {2m}{\sqrt{1-v^2-w^2+(vw)^2}}+\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}-2m $

и, после сокращения:

$ Q'=\frac {2m}{\sqrt{1-w^2}}-2m$

получаем формулу энергии $ Q'=2\left(\tfrac m{\sqrt{1-w^2}}-m\right)=2T_m =Q$, затраченной на ускорение частиц при распаде покоящейся относительно лабораторной ИСО частицы массой $M$.

Как видим, и при релятивистских скоростях, энергия – инвариант.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #967815 писал(а):

Это и называется словами "энергия - не инвариант".

Почитайте учебник. Вопрос элементарный и стандартный.

Врут учебники, энергия – инвариант

[Munin]

Ну вам-то откуда знать, незнайке-то?

[С.Мальцев]

Только от Вас, ежели что, только от Вас. Чукча ж не читатель, чукча же - писатель. Но, если у кого-то имеется сомнение, что в общем случае энергия всё же не инвариант, дык ить, закон сохранения энергии того не позволит.

[Munin]

Дык ить, слово "инвариант" означает совсем другое.

Энергия - сохраняющаяся величина, но не инвариант.

-- 21.02.2015 23:08:44 --

Гений вы наш.

[rustot]

тогда и импульс инвариант? ну коли он "сохраняется"? :)

энергия в любом случае не инвариант, поскольку например в кинетическую энергию входит не инвариантное $v$. но если в классической механике можно выделить некоторую условную часть полной энергии системы, и назвать "внутренней" и выделить ее по такому принципу, что она не будет зависеть от выбора исо, то эта условная доля полной энергии действительно будет инвариантной исходя именно из принципа ее выбора. но фокус в том что в сто такой прием не сработает. вы не сможете такую инвариантную долю по каким то разумным признакам выделить, разве что волюнтаристски назначить ровно 1Дж инвариантной долей

[Munin]

rustot в сообщении #981450 писал(а):

но фокус в том что в сто такой прием не сработает.

Если его заставлять сработать, то получится не энергия, а масса. А она да, хороший инвариант, никто не спорит.

[С.Мальцев]

rustot в сообщении #981450 писал(а):

энергия в любом случае не инвариант, поскольку например в кинетическую энергию входит не инвариантное $v$.

Конечно, если рассматривать, скажем, кинетическую энергию или полную некоего абстрактного тела, то такая энергия не является инвариантом.

rustot в сообщении #981450 писал(а):

но если в классической механике можно выделить некоторую условную часть полной энергии системы, и назвать "внутренней" и выделить ее по такому принципу, что она не будет зависеть от выбора исо, то эта условная доля полной энергии действительно будет инвариантной исходя именно из принципа ее выбора.

Зачем же выделять некоторую условную часть полной энергии системы? Энергия, в моем представлении, разделяется по совершенно иному принципу, скажем так – абстрактная энергия и энергия взаимодействия. Поясню.

Представим, например, заряженное ружье. Его кинетическая энергия – не инвариант, т.к. действительно – его скорость различна в различных СО. Ружье выстрелило, взаимная скорость ружья и пули – инвариант, т.е. одинакова в различных СО. Как и затраченная на выстрел энергия – тоже инвариант.

Теперь, если абстрактно рассматривать кинетическую энергию ружья и пули, то эта энергия – не инвариант, но, когда из-за отдачи приклад ружья ткнет стрелка в плечо, а пуля попадет в быстро движущуюся цель, то выделенная энергия – снова инвариант, т.к. скорость приклада относительно плеча и скорость пули относительно цели не зависят от выбора СО.

А теперь, внимание, вопрос – какая энергия нас в конечном счете интересует, абстрактная или энергия взаимодействия?

rustot в сообщении #981450 писал(а):

но фокус в том что в сто такой прием не сработает. вы не сможете такую инвариантную долю по каким то разумным признакам выделить, разве что волюнтаристски назначить ровно 1Дж инвариантной долей

Ерунда. Фокус в том, что хотя при движении с околосветовыми скоростями, взаимные скорости – не инвариант, принцип относительности требует, чтобы приклад точно так же больно ткнул в плечо, а пуля точно так же разнесла цель. И, как следует из представленных выкладок, точно так же, как и при скоростях $v\ll c$, энергия взаимодействия при $v\to c$ – инвариант.

Вот как-то так, в моем представлении.

[rustot]

то есть вы желаете дать другое определение энергии? и допустим внутреннюю энергию пороха считать НЕ по тому на сколько изменилась суммарная кинетическая энергия всех частей системы после его сгорания?

но тогда теряется самое важное что было в понятии энергии - закон сохранения

вот у вас есть объект массой $M$, центр масс которого неподвижен, состоящий на самом деле из нескольких движущихся масс $M = \sum m_i$ с некоторой суммарной энергией $E = \sum \frac{m_i v_i^2}{2}$. в классической механике вы можете эту суммарную энергию назвать внутренней и действительно обнаружить что в системе отсчета, где центр масс системы движется со скоростью $V$ сумма энергий всех частей системы $\sum \frac{m_i' v_i'^2}{2} = \frac{M V^2}{2} + E$. то есть эта внутренняя энергия $E$ остается инвариантной

а в СТО это НЕ ТАК. инвариантной эту величину, характеризующую внутренние движения в системе, вы сможете сделать только если добавите к массе. $M = \sum m_i + E/c^2$. только тогда вы получите равенство $\frac{M c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \sum \frac{m_i c^2}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}$. а с "немодифицированной" массой $M$ вы получите разную разность между этими величинами в разных системах отсчета, то есть выразить какой то инвариантной внутренней энергией вы эту разность не сможете.

[Munin]

rustot в сообщении #981797 писал(а):

то есть вы желаете дать другое определение энергии?

С.Мальцев, видимо, не понимает, что после этого его нечто перестанет называться энергией.

[С.Мальцев]

rustot в сообщении #981797 писал(а):

то есть вы желаете дать другое определение энергии? и допустим внутреннюю энергию пороха считать НЕ по тому на сколько изменилась суммарная кинетическая энергия всех частей системы после его сгорания?

С чего бы это? Как раз, именно так и считал:

С.Мальцев в сообщении #979839 писал(а):

Из разности общей кинетической энергии до и после ускорения, находим затраченную автомобилем энергию:

$Q_u= T_2-T_1=13795455{,}55-13750000=45454{,}55\,\, \text{Дж}$

Как видим, затраченная автомобилем энергия не зависит от скорости $u$ и составляет всё те же $Q=Q_u=45454{,}55\,\, \text{Дж}$, как и при изначально покоящейся платформе.

Считал по тому, на сколько изменилась суммарная кинетическая энергия всех частей системы после ускорения автомобиля на платформе. Чем Вам не те же пуля и ружье? Только вместо пороха бензин.

Зачем Вы пытаетесь подловить меня на том, чего не было? Меня здесь пытались убедить в том, что количество затраченной энергии и при скоростях $v\ll c$ изменяется при смене СО. Всего лишь показал, что это не так – не изменяется, только и всего.

rustot в сообщении #981797 писал(а):

эта внутренняя энергия $E$ остается инвариантной

Совершенно верно. Надеюсь, с этим вопросом мы наконец-то разобрались?

rustot в сообщении #981797 писал(а):

а в СТО это НЕ ТАК. инвариантной эту величину, характеризующую внутренние движения в системе, вы сможете сделать только если добавите к массе. $M = \sum m_i + E/c^2$. только тогда вы получите равенство $\frac{M c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \sum \frac{m_i c^2}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}$. а с "немодифицированной" массой $M$ вы получите разную разность между этими величинами в разных системах отсчета, то есть выразить какой то инвариантной внутренней энергией вы эту разность не сможете.

Да, действительно, забавно получается – с одной стороны, вроде бы при распаде часть инвариантной массы превращается в инвариантную же энергию (см. здесь). С другой стороны, образуется нехватка энергии $\Delta M\gamma-\Delta M$, т.е. кинетической энергии части массы, превратившейся в энергию. И эта $\gamma$, конечно – не инвариант. Ладно, попробую разобраться.

Тут еще такой возник вопрос – а это ничего, что $\sum \vec{p}>MV\gamma$, т.е. суммарный импульс движущихся масс больше импульса всей системы?

[rustot]

С.Мальцев в сообщении #982919 писал(а):

С чего бы это? Как раз, именно так и считал:

это в классике. но в сто вы так считать уже не желаете. желаете чтобы энергия топлива не изменению кинетической энергии равнялась, а стала вместо этого инвариантной.

в классике у внутренней энергии топлива два свойства - инвариантность и сохранение. причем сохранение это свойство всех видов энергии в классике, а инвариантность только в некоторых частных случаях. так почему не имея возможности в сто сохранить оба свойства одновременно вы выбрали определение энергии топлива через свойство инвариантности, а не через свойство сохранения? частное свойство предпочли универсальности?

С.Мальцев в сообщении #982919 писал(а):

Да, действительно, забавно получается – с одной стороны, вроде бы при распаде часть инвариантной массы превращается в инвариантную же энергию

нет, в энергию превращается не инвариантный кусок массы $\Delta M$ а НЕинвариантный кусок массы-энергии $\gamma \Delta M c^2$. соотвественно и полученное изменение энергии других видов не инвариантно. а сумма изменений равна по прежнему нулю

[С.Мальцев]

rustot в сообщении #982921 писал(а):

так почему не имея возможности в сто сохранить оба свойства одновременно вы выбрали определение энергии топлива через свойство инвариантности, а не через свойство сохранения? частное свойство предпочли универсальности?

Из самых общих соображений, из самых общих. Тогда получается, что для того, чтобы затормозить тело, необходимо затратить больше энергии, чем для его ускорения.

[arseniiv]

Невозможно: $t\mapsto-t.$