Энергия и принцип относительности.

[мат-ламер]

С.Мальцев в сообщении #976242 писал(а):

мат-ламер в сообщении #973684 писал(а):

рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль за то же время разгоняется с 10 м/сек до 20 м/сек. Сколько надо энергии для этого? И откуда она взялась лишняя энергия, если бензин тот же самый?

В данном случае, (по аналогии) впору было бы спросить – а куда же девались все эти 300 иоттаджоулей энергии? Только что, в последний момент все эти 300 иоттаджоулей энергии со скоростью 10 м/сек неслись на выпаденца-экспериментатора, тут шмяк – всего каких-то 5 килоджоулей, и всё по нулям. Бессмыслица получается.

Там от земли идёт подпитка энергией.

[С.Мальцев]

Ну да, типа того.

Вот еще пример – один из экспериментаторов с помощью, скажем, талей, домкратов и рычагов, действительно изменил скорость Земли на 10 м/сек., другой экспериментатор, сев на велосипед (выпав из окна), заявляет, что проделал то же самое. Почему бы и нет? Формулы-то симметричны.

К чему, собственно, веду – должна же быть та грань разумности, за которой энергия сгорания паров бензина в работающем двигателе покоящегося автомобиля может зависеть от скорости проезжающего мимо экспериментатора.

[warlock66613]

С.Мальцев в сообщении #976493 писал(а):

должна же быть та грань разумности, за которой энергия сгорания паров бензина в работающем двигателе покоящегося автомобиля может зависеть от скорости проезжающего мимо экспериментатора

Почему же она не должна зависеть, если, наоборот, должна? Наблюдаемые величины действительно должны быть инвариантными. Энергия является наблюдаемой? Нет.

И, называя это "зависимостью от скорости проезжающего мимо экспериментатора" вы подменяете понятия. Если мимо дома проедут последовательно два экспериментатора с разными скоростями, то энергия будет неизменной в течение всего этого процесса как в СО первого, так и в СО второго. Экспериментатор - это не то же самое, что система отсчёта.

[С.Мальцев]

Не спорю – сама по себе энергия не наблюдаема. Но существуют же счетчики расхода энергии.

Вот экспериментатор, скажем, только что ускорил тело, затратив на это означенное количество энергии, причем, на счетчике расхода энергии имеется вполне конкретная цифирь. Затем экспериментатор мысленно перемещается в другую СО и размышляет – нет, энергии у меня затратилось намного больше! Может счетчик подвирает?

Показания счетчика что, тоже инвариант? Типа – посмотрел из одной ИСО – одна цифирь на счетчике, посмотрел из другой – опаньки, совсем другая!

[whiterussian]

С.Мальцев, убедительная просьба приглушить "сарказм". Если у вас остались вопросы по-существу, задавайте их в принятой на форуме уважительной манере. Если вопросов больше нет - тема будет закрыта.

[Cos(x-pi/2)]

С.Мальцев в сообщении #976296 писал(а):

Вообще, поражаюсь Вашему долготерпению для столь подробного разбора

Попробуйте этому не удивляться, а "брать пример со старшего товарища" :-) Ведь интуиция, эмоции и сарказм не есть хороший способ решения физической задачи.

На данный момент я слегка в цейтноте, поэтому позвольте мне отложить очередной "подробный разбор" до выходных. А Вам советую самостоятельно решить (именно решить, а не заниматься гаданием) пару наметившихся здесь учебных задачек; смысл их просто в том, чтобы научиться вычислять энергию в разных СО, и, в конце-концов, сравнивая результаты, сформулировать наиболее экономный и в то же время надёжный метод получения ответов:

1). В системе покоя Земли автомобиль c массой $m$ разогнался от нулевой начальной скорости до скорости $v_1=10 \,\, \text{м/с}.$ Вычислите в общем виде по формулам нерелетявистской механики энергию бензина $Q,$ затраченную на этот разгон. (Все условия считайте идеальными, т.е. всякими потерями пренебрегаем, считаем, что вся энергия $Q$ превратилась в кин. энергию автомобиля).

Повторите расчёт энергии бензина $Q'$ в этой же задаче, но в системе отсчёта, движущейся навстречу автомобилю относительно Земли с заданной скоростью $v$ (например, 10 м/c). Сравнив найденные выражения для $Q$ и $Q',$ Вы спокойно, без эмоций и сарказма, получите обоснованный ответ на вопрос "зависит ли энергия бензина от системы отсчёта" (по крайней мере в данной нерелятивистской ситуации).


2) Аналогичная, но другая задача: в системе покоя Земли автомобиль c массой $m$ разогнался от заданной начальной скорости $v_1^{\text{нач.}}$ (например, 10 м/c) до заданной конечной скорости $v_1^{\text{кон.}}$ (например, 20 м/c). При той же идеализации, что и выше, вычислите в общем виде по формулам нерелетявистской механики энергию бензина $Q,$ затраченную на этот разгон.

Повторите расчёт энергии бензина $Q'$ в этой же задаче, но в системе отсчёта, движущейся относительно Земли в ту же сторону, что и автомобиль, с заданной скоростью $v$ (например, 10 м/c). Сравнив найденные выражения для $Q$ и $Q',$ Вы ещё раз получите обоснованный вывод о зависимости энергии бензина от системы отсчёта, причем на этот раз - с другими (более общими) начальными условиями.

Удачи!

[warlock66613]

С.Мальцев в сообщении #976991 писал(а):

Может счетчик подвирает?

Да, если счётчик не покоится, то он неизбежно "подвирает". Если есть две ИСО и два счётчика, соответственно покоящихся в этих ИСО, то показания каждого счётчика во всех ИСО одинаковы, но в первой ИСО второй счётчик врёт, а во второй - наоборот первый. При этом конкретные причины искажения показаний могут быть разными - они зависят от устройства и принципа действия конкретного счётчика - но в принципе их всегда можно определить, и вычислить поправку на движение. И эта поправка всегда будет как раз такая, что с её учётом получатся правильные показания неподвижного счётчика.

[rustot]

С.Мальцев в сообщении #976991 писал(а):

Показания счетчика что, тоже инвариант?

показания счетчика энергии инвариантны. энергия не инвариант. значит показания счетчика валидны не во всех исо, не во всех его показания совпадают с расходом энергии

показания спидометра автомобиля инвариантны. скорость автомобиля не инвариантна.

[С.Мальцев]

whiterussian в сообщении #977114 писал(а):

убедительная просьба приглушить "сарказм".

Извините, иногда действительно, что называется – заносит. Больше не повторится.

whiterussian в сообщении #977114 писал(а):

Если у вас остались вопросы по-существу, задавайте их в принятой на форуме уважительной манере.

Вопросы есть, постараюсь.

Cos(x-pi/2) в сообщении #977147 писал(а):

интуиция, эмоции и сарказм не есть хороший способ решения физической задачи.

Вы совершенно правы, попробую решить задачу с формулами, но задачу не из классической механики, а из релятивистской (у меня сейчас тоже не очень много времени, чуть позже, надеюсь, вернусь к разбору Вашей задачи).

Итак, относительно лабораторной ИСО ускоряем тело массой $m$ до классической скорости $v$, затратив на ускорение энергию $T=\tfrac{mv^2} 2$. Из этой формулы получаем:

$$v=\sqrt{\frac{2T}m}\ \eqno (3.1)$$

Теперь представим, что точно такой же эксперимент проводится в ИСО, движущейся с околосветовой скоростью $u$ относительно лабораторной. В соответствии с принципом относительности, благодаря фактору замедления времени, поперечная (перпендикулярная направлению $u$) скорость $w$ должна упасть в $\gamma_u=\tfrac 1 {\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ раз с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО, т.е. $w_1=v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$. Известно, что инерция тела при релятивистских скоростях увеличивается (раньше это называлось увеличением массы), причем по-разному в различных направлениях относительно оси движения $u$. Воспользовавшись формулой (3.1) и поделив обе ее части на $\gamma$, находим изменение инерции тела в поперечном направлении:

$$ w_1=v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\sqrt{\frac{2T}m} = \sqrt{\frac{2T \left(1-\frac{u^2}{c^2} \right)}m}= \sqrt{\frac{2T}{\frac m {1-\frac{u^2}{c^2}}}} \ \eqno (3.2)$$

В продольном направлении, поскольку еще и линейки сокращены, скорость $w_2$ должна упасть в $\gamma_u^2$ раз с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО. Точно так же находим изменение инерции тела в продольном направлении:

$$ w_2=v\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)= \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\sqrt{\frac{2T}m} = \sqrt{\frac{2T \left(1-\frac{u^2}{c^2} \right)^2}m}= \sqrt{\frac{2T}{\frac m {\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^2}}} \ \eqno (3.3)$$

Как видим, при той же затраченной энергии $T$, чтобы скорость тела соответствовала принципу относительности, инерция тела должна увеличиться в $\gamma_u^2$ раз в поперечном направлении и аж в $\gamma_u^4$ (!) раз в продольном направлении. Где же тут может быть еще и рост энергии?

[С.Мальцев]

Cos(x-pi/2) в сообщении #977147 писал(а):

1). В системе покоя Земли автомобиль c массой $m$ разогнался от нулевой начальной скорости до скорости $v_1=10 \,\, \text{м/с}.$ Вычислите в общем виде по формулам нерелетявистской механики энергию бензина $Q,$ затраченную на этот разгон. (Все условия считайте идеальными, т.е. всякими потерями пренебрегаем, считаем, что вся энергия $Q$ превратилась в кин. энергию автомобиля).

Изначально покоившийся в СО Земли автомобиль массой $m=1000\,\, \text{кг}$ разогнался до скорости $v=10\,\, \text{м/сек}$, затратив на собственное ускорение энергию $Q_{10}=mv^2/2=1000 \cdot 10^2/2=50000\,\, \text{Дж}$.

Cos(x-pi/2) в сообщении #977147 писал(а):

2) Аналогичная, но другая задача: в системе покоя Земли автомобиль c массой $m$ разогнался от заданной начальной скорости $v_1^{\text{нач.}}$ (например, 10 м/c) до заданной конечной скорости $v_1^{\text{кон.}}$ (например, 20 м/c). При той же идеализации, что и выше, вычислите в общем виде по формулам нерелетявистской механики энергию бензина $Q,$ затраченную на этот разгон.

Тот же покоившийся в СО Земли автомобиль массой $m=1000\,\, \text{кг}$ разогнался до скорости $v=20\,\, \text{м/сек}$, затратив на собственное ускорение энергию $Q_{20}=mv^2/2=1000 \cdot 20^2/2=200000\,\, \text{Дж}$. Откуда находим дополнительно затраченную энергию $\Delta Q= Q_{20}- Q_{10}=200000-50000=150000\,\, \text{Дж}$ для ускорения от $v=10\,\, \text{м/сек}$ до $v=20\,\, \text{м/сек}$. Оно и понятно – при дальнейшем ускорении, для преодоления собственной инерции автомобиля приходится увеличивать расход топлива. Отсюда и увеличение расхода энергии $\Delta Q>Q_{10}$.

Теперь представим, что тот же автомобиль массой $m=1000\,\, \text{кг}$ изначально установлен на покоящейся в СО Земли ж/д платформе массой $M=10000\,\, \text{кг}$. Затем автомобиль разгоняется до скорости $v_1=10\,\, \text{м/сек}$ относительно платформы.

Находим скорость автомобиля (вправо) $v_a$ в СО Земли после его ускорения:

$v_a=v_1\frac{M}{M+m}=\frac {10\cdot 10000}{10000+1000}=9{,}09 \,\, \text{м/сек}$

и скорость платформы (влево) $v_p$ в СО Земли после ускорения автомобиля:

$v_p=v_1\frac{m}{M+m}=\frac {10\cdot 1000}{10000+1000}=0{,}91 \,\, \text{м/сек}$

Эти скорости взаимосвязаны формулами $v_p=\tfrac {v_a m} M$ и $v_a=\tfrac {v_pM} m$. Теперь находим кинетическую энергию автомобиля в СО Земли:

$T_a=\frac{mv_a^2} 2=\frac {1000\cdot 9{,}09^2}2=41322{,}31\,\, \text{Дж}$

и кинетическую энергию платформы:

$T_p=\frac{Mv_p^2} 2=\frac {10000\cdot 0{,}91^2}2=4132{,}23\,\, \text{Дж}$

Отсюда находим затраченную автомобилем энергию:

$Q= T_a +T_p=41322{,}31+4132{,}23=45454{,}55\,\, \text{Дж}$

Теперь затраченная энергия несколько уменьшилась, что тоже вполне понятно – чем менее массивна платформа, тем проще для автомобиля выполнить заданное условие – ускориться до $v_1=10\,\, \text{м/сек}$ относительно платформы.

Далее представим, что платформа с покоящемся на ней автомобилем движется вправо со скоростью $u$. Согласно принципу относительности, после ускорения автомобиля, его скорость в СО Земли теперь составляет $u_a=u+v_a$, скорость платформы в СО Земли $u_p=u-v_p$. Поскольку эти приращения скорости не зависят от начальной скорости платформы $u$, делаем вывод – затраченная энергия на ускорение автомобиля $Q$ остается неизменной и не зависит от скорости движения платформы.

В то же время, приращение кинетической энергии автомобиля $\Delta T_a$ в СО Земли несомненно зависит от начальной скорости $u$:

$\Delta T_a=T_{u+v}-T_u=\frac{m(u+v_a)^2-mu^2}2=\frac{mv_a(2u+v_a)}2$

и это как раз та энергия, которую необходимо было бы дополнительно затратить автомобилю, если бы он изначально двигался со скоростью $u$ по земле, а не на платформе.

Вот как-то так, в моем понимании

[rustot]

теперь, если вы сюда включите уменьшение массы автомобиля в процессе ускорения, за счет расхода бензина, положив его энергоемкость дж/кг в какой-то одной из исо, вы обнаружите что энергоемкость меняется при смене исо, во внутреннюю энергию бензина включается его кинетическая энергия

[С.Мальцев]

rustot в сообщении #979464 писал(а):

если вы сюда включите уменьшение массы автомобиля в процессе ускорения, за счет расхода бензина, положив его энергоемкость дж/кг в какой-то одной из исо, вы обнаружите что энергоемкость меняется при смене исо, во внутреннюю энергию бензина включается его кинетическая энергия

Подождите немного. Предлагаю для начала честно решить предложенную задачу с автомобилем на платформе, движущейся со скоростью $u$ в СО Земли:

С.Мальцев в сообщении #979451 писал(а):

Теперь представим, что тот же автомобиль массой $m=1000\,\, \text{кг}$ изначально установлен на покоящейся в СО Земли ж/д платформе массой $M=10000\,\, \text{кг}$. Затем автомобиль разгоняется до скорости $v_1=10\,\, \text{м/сек}$ относительно платформы.

Находим скорость автомобиля (вправо) $v_a$ в СО Земли после его ускорения:

$v_a=v_1\frac{M}{M+m}=\frac {10\cdot 10000}{10000+1000}=9{,}09 \,\, \text{м/сек}$

и скорость платформы (влево) $v_p$ в СО Земли после ускорения автомобиля:

$v_p=v_1\frac{m}{M+m}=\frac {10\cdot 1000}{10000+1000}=0{,}91 \,\, \text{м/сек}$
...

находим затраченную автомобилем энергию:

$Q= T_a +T_p=41322{,}31+4132{,}23=45454{,}55\,\, \text{Дж}$

Теперь затраченная энергия несколько уменьшилась, что тоже вполне понятно – чем менее массивна платформа, тем проще для автомобиля выполнить заданное условие – ускориться до $v_1=10\,\, \text{м/сек}$ относительно платформы.

Далее представим, что платформа с покоящемся на ней автомобилем движется вправо со скоростью $u$. Согласно принципу относительности, после ускорения автомобиля, его скорость в СО Земли теперь составляет $u_a=u+v_a$, скорость платформы в СО Земли $u_p=u-v_p$. Поскольку эти приращения скорости не зависят от начальной скорости платформы $u$, делаем вывод – затраченная энергия на ускорение автомобиля $Q$ остается неизменной и не зависит от скорости движения платформы.

Пусть платформа с покоящемся на ней автомобилем движется вправо со скоростью $u=50\,\, \text{м/сек}$. Находим общую кинетическую энергию $T_1$ платформы и автомобиля при заданной скорости:

$T_1=\frac{u^2(M+m)}2=\frac{50^2(10000+1000)}2=13750000\,\, \text{Дж}$

Затем находим скорость автомобиля $u_a=u+v_a =50+9{,}09=59{,}09 \,\, \text{м/сек}$ и скорость платформы $u_p=u-v_p=50-0{,}91=49{,}09 \,\, \text{м/сек}$ в СО Земли после ускорения автомобиля. Теперь снова находим общую кинетическую энергию автомобиля и платформы после ускорения:

$T_2=\frac{M u_p^2+m u_a^2}2=\frac{10000 \cdot 49{,}09^2+1000\cdot 59{,}09^2 } 2=\frac{24099173{,}55+3491735{,}54} 2=13795455{,}55\,\, \text{Дж}$

Из разности общей кинетической энергии до и после ускорения, находим затраченную автомобилем энергию:

$Q_u= T_2-T_1=13795455{,}55-13750000=45454{,}55\,\, \text{Дж}$

Как видим, затраченная автомобилем энергия не зависит от скорости $u$ и составляет всё те же $Q=Q_u=45454{,}55\,\, \text{Дж}$, как и при изначально покоящейся платформе. И где же тут изменение энергоёмкости топлива в движущейся СО?

[rustot]

С.Мальцев в сообщении #979839 писал(а):

Как видим, затраченная автомобилем энергия не зависит от скорости $u$ и составляет всё те же $Q=Q_u=45454{,}55\,\, \text{Дж}$. И где же тут изменение энергоёмкости топлива в движущейся СО?

так у вас энергия берется из ниоткуда, масса автомобиля не убывает в процессе сгорания бензина. а вот когда он у вас начнет сгорать, то в энергию бензина неизбежно попадет разность кинетических энергий исходного бензина и получившихся выхлопных газов, которая в разных исо разная

в сто же вы обнаружите исчезновение кинетической энергии топлива вообще в никуда, вместе с убылью массы, а не с изменением скорости этой массы. даже если вы собираете выхлопные газы в воздушный шарик и тащите его с собой, его масса меньше чем масса сгоревшего бензина. и убыль энергии вместе с массой зависит от скорости этой массы, а значит от выбора системы отсчета

допустим у вас есть неподвижный вагон, внутри которого множество биллиардных шаров катаются, постоянно абсолютно упруго сталкивающихся. их суммарная кинетическая энергия $E_1$. если перейти в другую систему отсчета то суммарная энергия всех шаров и вагона увеличится на $\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2}$. где $m_1 + m_2$ суммарная масса и шаров и вагона. значит вы вправе рассматривать вагон с шарами как материальную точку с массой равной массе всех тел и какой то скрытой внутренней энергией $E_1$. ничем не отличается поведение вагона с шарами как одного целого в случае движущихся и неподвижных шаров. в сто же при переходе в другую систему отсчета суммарная кинетическая энергия шаров и вагона увеличится не НА сколько то, а ВО сколько то раз. и чтобы рассматривать вагон с шарами как материальную точку, вы будете вынуждены $E_1$ не выкинуть из рассмотрения, а вписать в массу. и если вы утилизируете энергию шаров на прирост скорости вагона, то эта самая масса вагона как материальной точки уменьшится. поэтому если вы утилизируете энергию шаров скажем так чтобы они все кроме одного относительно вагона остановились, а один его покинул, то масса вагона в целом уменьшится больше чем на массу одного из шаров, а одна и та же потеря массы при разной начальной скорости означает разную потерю энергии

[Cos(x-pi/2)]

Извините за опечатку; правильно пишется "нерелятивистская", а не так, как у меня в спешке получилось...

С.Мальцев
Хорошо, Вы правильно нашли энергию бензина в задаче (1): $Q_{10}=mv^2/2.$ И правильно в задаче (2): $\Delta Q=m(v_1^{\text{кон}})^2/2-m(v_1^{\text{нач}})^2/2.$ Это всё в СО покоя Земли. Причём, масса Земли $M$ считалась бесконечной, раз мы не учли передачу энергии Земле (и это тоже верно, т.к. мы как раз хотели рассмотреть идеализированную задачку).

Но самый кайф-то заключается в том, чтобы научиться выводить эти же ответы расчётом в другой СО; назовём её условно "системой покоя велосипедиста". Представим себе, как это уже предлагал мат-ламер, что в задаче (1) навстречу автомобилю едет умный велосипедист и он тоже хочет подсчитать, сколько энергии дал бензин автомобилю. На первый взгляд получается парадокс: велосипедист видит, что по отношению к его СО автомобиль уже имел ненулевую начальную скорость и разогнался до ещё большей скорости, т.е., казалось бы, велосипедист должен насчитать величину вроде $\Delta Q,$ которая больше, чем $Q_{10}.$ Но если велосипедист вдумчивый, то сумеет выполнить расчёт правильно, и обнаружит, что по отношению к его СО энергия $Q'_{10}$, отданная бензином, совпадает с $Q_{10}.$

Аналогичный "парадокс" надо научиться разрешать и в задачке (2). Там велосипедист пусть едет в ту же сторону, что и автомобиль. Тогда относительно СО покоя велосипедиста автомобиль разгоняется от нулевой скорости до небольшой скорости. И казалось бы, велосипедист насчитает что-то небольшое, вроде $Q_{10},$ вместо правильного ответа $\Delta Q'=\Delta Q.$

В качестве подсказки замечу, что Ваша идея с платформой очень кстати, только в роли платформы надо рассматривать саму Землю. Считайте что Земля это длинная платформа массой $M$ под автомобилем. Чтобы получить выражение для энергии бензина в штрихованной СО (т.е. в системе покоя велосипедиста), учтите наряду с законом сохранения энергии ещё и закон сохранения импульса. И только после этого устремите $M \to \infty.$ Собственно, так же надо действовать и в исходной СО, считая, что это есть СО центра масс платформы и автомобиля.

Вместо всех числовых данных лучше всё-таки писать буквенные выражения. Мораль будет такая: в итоге удастся сформулировать понятие "внутренняя энергия системы", которая в нерелятивистском приближении не зависит от выбора ИСО, и проще всего подсчитывается в системе покоя центра масс. В наших задачках про бензин как раз энергия бензина и есть такая внутренняя энергия.

P.S. Расход массы самого бензина в наших идеализированных задачках можно не учитывать, т.е. считать, что он очень лёгкий. Или можно вместо автомобиля взять мальчишку на самокате: тогда речь пойдёт о том, сколько мальчишка тратит своей внутренней энергии на разгон (в этом варианте нерелятивистской задачки, вроде, нет ни заметной потери массы, ни обилия выхлопных газов.)

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #980058 писал(а):

P.S. Расход массы самого бензина в наших идеализированных задачках можно не учитывать, т.е. считать, что он очень лёгкий.

Что интересно, в релятивистском случае это будет уже не так, и максимум прироста кинетической энергии при затрате топлива с массой $m$ будет $m\gamma c^2,$ где $\gamma$ берётся для начальной скорости топлива. Этот максимум достигается фотонной ракетой.