Неоднородное уравнеие Лежандра.

[Elijo]

Здравствуйте.

Пожалуйста, помогите найти частное решение уравнения:
$\frac{1}{\sin t} \frac{d}{dt} \sin t \frac{df}{dt} + n(n+1)f = \frac{1}{\sin^2 t} $.
Т.е. это уравнение на полиномы Лежандра, но с правой частью.

Пробовал решать приближенно. Как известно, заменой $f=g/\sin t$ можно свести к:
$g'' +\frac{1}{\sin^2 t}g +n(n+1)g=\frac{1}{\sin t}$.
Тогда при больших n и далеко от точек 0 pi можно перейти к приближенному уравнению без второго слагаемого.
НО хотелось бы, по возможности, получить решение при любых t и n.

Выглядит уравнение достаточно просто, казалось бы должно быть где-нибудь в литературе. Но я ничего не нашел.

[svv]

Запишите уравнение через $x=\cos t$:
$(1-x^2)\frac{d^2 f}{dx^2}-2x\frac{df}{dx}+n(n+1)f=\frac 1{1-x^2}$
Однородное уравнение Лежандра имеет два стандартных линейно независимых решения, $P_n(x)$ и $Q_n(x)$.
Примените метод вариации произвольных постоянных. Общее решение Вашего уравнения имеет вид $A(x)P_n(x)+B(x)Q_n(x)$, где
$A(x)=-c \int \frac {Q_n(x)}{1-x^2}dx\quad\quad B(x)=+c \int \frac {P_n(x)}{1-x^2}dx$
$c$ — некоторая (не произвольная, а вполне определенная для данного $n$) константа.
Проверьте эти формулы (писал их «по идее», мог ошибиться). Найдите $c$. Имейте в виду, что вронскиан $W=PQ'-P'Q$ имеет простой вид (см. справочники) и самостоятельно вычислять его не нужно.

Если повезёт, сможете взять интегралы, хотя бы для отдельных небольших $n$.

[Elijo]

Действительно!

Спасибо, попробую.