2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория групп, обобщенная теорема Силова
Сообщение22.02.2015, 20:04 


14/01/14
85
Ещё вопрос по теории групп, непонятен момент в доказательстве обобщенной теоремы силова, которая говорит, что в конечной разрешимой группе, назовем её G, существуют группы порядка холлова делителя(то есть такого $k$, что $k | n$, $(k, n/k)=1$, где $n$ порядок группы G) и что все такие группы сопряжены.

В доказательстве говорится: пусть существует минимальная нормальная подгруппа $A$, её порядок будет равен $p^m$, где $p$ - простое число(этот факт вытекает из того, что группа G - разрешимая и $A$ - минимальная нормальная подгруппа). Так вот, доказывают индукцией. Для порядков меньших $n$ теорема выполняется. Тогда если для нужного нам холлова делителя $k$ действительно $p | k$, тогда $p^m | k$ и $p$ не делит $n$ - это вытекает из того, $k$ - холлов делитель. Тогда по предположению индукции в группе $G/A$ существует подгруппа $B'$ такая, что её порядок равен $k/p^m$, следовательно подгруппа $B$ группы $G$ такая, что $B/A=B'$ имеет нужный нам порядок. Здесь все ясно. Дальше момент с сопряженностью. Цитирую(Каргаполов и Мерзляков: "основы теории групп") "пусть подгруппы $B_1$ и $B_2$ имеют порядок $k$, очевидно, что они содержат группу $A$".

Мне не очевидно почему содержат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, обобщенная теорема Силова
Сообщение22.02.2015, 21:09 
Заслуженный участник


11/11/07
1193
Москва
1) Подгруппа $A$ нормальна и имеет порядок $p^m$, следовательно она содержится во всех силовских $p$-подгруппах.
2) Так как $p \mid k$ и $p \nmid \frac{n}{k}$, то каждая подгруппа порядка $k$ содержит некоторую силовскую $p$-подгруппу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, обобщенная теорема Силова
Сообщение22.02.2015, 21:21 


14/01/14
85
А, до конца второго пункта не добрел и в нем крылся ответ. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, обобщенная теорема Силова
Сообщение23.02.2015, 00:10 


14/01/14
85
Ещё вопрос все по тому же доказательству.

В случае, если $p \nmid k$, то находят наибольшую(то есть с наибольшим порядком?) нормальную подгруппу $D$ такую, что её порядок и $k$ - взаимно просты. Тогда если $H$ - минимальная нормальная подгруппа $G/D$, то её порядок $q^s$ для некоторого простого $q$ и целого $s$ делит $k$.
Почему делит? Или здесь имеется в виду "выберем такую минимальную нормальную подгруппу, порядок которой делит $k$"? Тогда почему такая нормальная группа обязательно существует? Если так, то не совсем понятно почему погруппу с порядком, который бы делил $k$ нельзя найти сразу в $G$

-- 23.02.2015, 01:30 --

Пардон, ступил, глупый вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group