Теория групп, обобщенная теорема Силова

[Braga]

Ещё вопрос по теории групп, непонятен момент в доказательстве обобщенной теоремы силова, которая говорит, что в конечной разрешимой группе, назовем её G, существуют группы порядка холлова делителя(то есть такого $k$, что $k | n$, $(k, n/k)=1$, где $n$ порядок группы G) и что все такие группы сопряжены.

В доказательстве говорится: пусть существует минимальная нормальная подгруппа $A$, её порядок будет равен $p^m$, где $p$ - простое число(этот факт вытекает из того, что группа G - разрешимая и $A$ - минимальная нормальная подгруппа). Так вот, доказывают индукцией. Для порядков меньших $n$ теорема выполняется. Тогда если для нужного нам холлова делителя $k$ действительно $p | k$, тогда $p^m | k$ и $p$ не делит $n$ - это вытекает из того, $k$ - холлов делитель. Тогда по предположению индукции в группе $G/A$ существует подгруппа $B'$ такая, что её порядок равен $k/p^m$, следовательно подгруппа $B$ группы $G$ такая, что $B/A=B'$ имеет нужный нам порядок. Здесь все ясно. Дальше момент с сопряженностью. Цитирую(Каргаполов и Мерзляков: "основы теории групп") "пусть подгруппы $B_1$ и $B_2$ имеют порядок $k$, очевидно, что они содержат группу $A$".

Мне не очевидно почему содержат.

[AV_77]

1) Подгруппа $A$ нормальна и имеет порядок $p^m$, следовательно она содержится во всех силовских $p$-подгруппах.
2) Так как $p \mid k$ и $p \nmid \frac{n}{k}$, то каждая подгруппа порядка $k$ содержит некоторую силовскую $p$-подгруппу.

[Braga]

А, до конца второго пункта не добрел и в нем крылся ответ. Спасибо!

[Braga]

Ещё вопрос все по тому же доказательству.

В случае, если $p \nmid k$, то находят наибольшую(то есть с наибольшим порядком?) нормальную подгруппу $D$ такую, что её порядок и $k$ - взаимно просты. Тогда если $H$ - минимальная нормальная подгруппа $G/D$, то её порядок $q^s$ для некоторого простого $q$ и целого $s$ делит $k$.
Почему делит? Или здесь имеется в виду "выберем такую минимальную нормальную подгруппу, порядок которой делит $k$"? Тогда почему такая нормальная группа обязательно существует? Если так, то не совсем понятно почему погруппу с порядком, который бы делил $k$ нельзя найти сразу в $G$

-- 23.02.2015, 01:30 --

Пардон, ступил, глупый вопрос.