Элементарные функции

[provincialka]

В чем у вас проблема? Что функция задана на разных промежутках разнными формулами. Значит, надо построить что-то вроде суммы $f(x)I_A(x)+g(x)I_B(x)$, где $I_A$ -- индикатор множества $A$.

[integer]

provincialka
Мне нужно записать мою функцию $y$ одной формулой?

[provincialka]

integer в сообщении #981324 писал(а):

Мне нужно записать мою функцию $y$ одной формулой?

А как же иначе понимать, что она элементарная?

[integer]

provincialka
Ок, запишу немного позже.

Тепер меня вот что интересует. Понятно, что не всякая функция такого вида элементарная. Как понять элементарная ли функция такого вида?

[provincialka]

Какого вида? А вы знаете, как доказывается неэлементарность сигнума?

[integer]

provincialka

Такого вида
$y=\begin{cases} { x }^{ 3 }-1,\quad x>10 \\ 1,\quad x<-3 \end{cases}$

provincialka в сообщении #981339 писал(а):

А вы знаете, как доказывается неэлементарность сигнума?

Не знаю. Не плохо было бы узнать.

[provincialka]

Если вы решите задачу для конкретной функции, вы сразу поймете, как решать клас таких задач.

Для сигнума используется такая теорема: элементарная функция, заданная в точке, непрерывна в ней. Ну, а $sign$ определен в точке 0, но не непрерывен в ней.

[Munin]

grizzly в сообщении #981314 писал(а):

integer в сообщении #981299 писал(а):

Какое определение тогда правильное?

Какое-нибудь такое хотя бы, в котором элементарные функции не могут представляться в виде композиции неэлементарных.

Боюсь, это невозможно.

Допустим, что какое бы определение мы ни взяли, линейная функция будет считаться элементарной, а функция Дирихле $D(x)$ - неэлементарной. Тогда функции

$$\begin{gathered}f(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{2}(2\,D(x)-1),\\g(x)=\begin{cases}f^{-1}(x)&\exists\,y\colon f(y)=x\\0&\text{иначе}\\\end{cases}\end{gathered}$$

будут, видимо, тоже неэлементарными, поскольку они "ещё хуже", чем функция Дирихле. Однако, $g(f(x))=x.$

[grizzly]

Munin
Спасибо! Действительно, я перемудрил с модальностью предикатов :)

[integer]

provincialka
$y=\begin{cases} { x }^{ 3 }-1,\quad x>10 \\ 1,\quad x<-3 \end{cases}$

Что-то не получается у меня доказать, что это элементарная функция.
Надо отдохнуть и попытаться еще.

[Sonic86]

integer в сообщении #981308 писал(а):

Вот нормальное определение.

Цитата:

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией

Это тоже плохое определение. Согласно ему $(\int e^{-x^2}dx)'$ неэлементарна.

provincialka в сообщении #981348 писал(а):

Для сигнума используется такая теорема: элементарная функция, заданная в точке, непрерывна в ней. Ну, а $sign$ определен в точке 0, но не непрерывен в ней.

и что? $\operatorname{sign}x$ - элементарная функция по определению.

[provincialka]

Sonic86 в сообщении #982406 писал(а):

:shock: и что? $\operatorname{sign}x$ - элементарная функция по определению.

То есть как это? Нет. Это неудобно.

[Sonic86]

provincialka в сообщении #982410 писал(а):

Sonic86 в сообщении #982406 писал(а):

:shock: и что? $\operatorname{sign}x$ - элементарная функция по определению.

То есть как это? Нет. Это неудобно.

Из того, что это неудобно, не следует, что $\operatorname{sign}x$ неэлементарна.

(Оффтоп)

$\operatorname{sign}0$ не определен, если что

integer в сообщении #981383 писал(а):

provincialka
$y=\begin{cases} { x }^{ 3 }-1,\quad x>10 \\ 1,\quad x<-3 \end{cases}$

Что-то не получается у меня доказать, что это элементарная функция.
Надо отдохнуть и попытаться еще.

Еще подсказка: $y=\frac{1}{x+|x|}$.

[provincialka]

А! Если $\operatorname{sign} 0$ не определен, то это, конечно, элементарная функция. Но все-таки стандартное определение предполагает $\operatorname{sign} 0=0$.

[Sonic86]

Разобрались.
В данном случае для решения задачи стандартный сигнум не нужен: у ТС кусочная функция определена на 2-х интервалах.
А! Ну значит у меня ошибка в обозначении просто. Ну пусть не $\operatorname{sign}$, а $\operatorname{sg}$ тогда.