Теория групп, фактор-группы

[Braga]

Задался вдруг вопросом, и не могу на него ответить, и вроде бы нигде такое не доказывалось, а часто подразумевается как очевидное. Так вот:
Имеем некоторую нормальную подгруппу $H$ группы $G$. Соответственно $G/H$ - группа. Допустим, у неё есть подгруппа $K/H$. Как доказать, что существует подгруппа $K'$ группы $G$ такая, что $K'/H=K/H$?

[Munin]

У вас обозначения, сбивающие с толку. Не надо подгруппу $G/H$ обозначать с косой чертой, как результат факторизации. Надо как-то так: $K\subseteq G/H.$ И тогда надо искать такую $K'\subseteq G,$ что $K'/H=K.$

[Braga]

Да, пардон, вижу, что это коряво выглядит.

-- 21.02.2015, 17:04 --

Искомая группа $K'$ это объединение всех элементов(то есть фактор-множеств)$K$, верно?

[Munin]

Группа $G/H$ состоит из элементов, которые называются классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности - это множество элементов $G,$ и разные такие классы не пересекаются. Поэтому, $K\subseteq G/H$ тоже состоит из этих классов эквивалентности - только не из всех, а из некоторых. Если их объединить, как множества, то получится некоторое подмножество группы $G.$ Осталось доказать, что это подгруппа $G.$ (Кстати, это может быть не единственная такая $K',$ что $K'/H=K.$)

[AV_77]

Munin в сообщении #980894 писал(а):

Группа $G/H$ состоит из элементов, которые называются классы эквивалентности.

Все-таки обычно (в теории групп) их называют смежными классами.

Munin в сообщении #980894 писал(а):

Кстати, это может быть не единственная такая $K',$ что $K'/H=K.$

Если рассматривается факторгруппа $K' / H$, то подразумевается, что $H \leq K'$, а такая подгруппа со свойством $K' / H = K$ единственная. Могут быть другие подгруппы группы $G$ которые при гомоморфизме $G \to G / H$ отображается на $K$, но они не будут содержать $H$.

[Munin]

AV_77 в сообщении #980915 писал(а):

Все-таки обычно (в теории групп) их называют смежными классами.

А, точно. Пардон.

AV_77 в сообщении #980915 писал(а):

Если рассматривается факторгруппа $K' / H$, то подразумевается, что $H \leq K'$, а такая подгруппа со свойством $K' / H = K$ единственная. Могут быть другие подгруппы группы $G$ которые при гомоморфизме $G \to G / H$ отображается на $K$, но они не будут содержать $H$.

Ещё сильнее пардон.

[Oleg Zubelevich]

я понял вопрос следующим образом. пусть в группе $G$ есть нормальная погруппа $H$. Рассмотрим подгруппу $S\subset G/H$. Существует ли подгруппа $K\subset G$ такая, что $K/H=S$? я бы посмотрел в прообразе $p^{-1}(S)$, где $p:G\to G/H$ естественная проекция