2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 15:47 


14/01/14
85
Задался вдруг вопросом, и не могу на него ответить, и вроде бы нигде такое не доказывалось, а часто подразумевается как очевидное. Так вот:
Имеем некоторую нормальную подгруппу $H$ группы $G$. Соответственно $G/H$ - группа. Допустим, у неё есть подгруппа $K/H$. Как доказать, что существует подгруппа $K'$ группы $G$ такая, что $K'/H=K/H$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65082
У вас обозначения, сбивающие с толку. Не надо подгруппу $G/H$ обозначать с косой чертой, как результат факторизации. Надо как-то так: $K\subseteq G/H.$ И тогда надо искать такую $K'\subseteq G,$ что $K'/H=K.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 15:53 


14/01/14
85
Да, пардон, вижу, что это коряво выглядит.

-- 21.02.2015, 17:04 --

Искомая группа $K'$ это объединение всех элементов(то есть фактор-множеств)$K$, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65082
Группа $G/H$ состоит из элементов, которые называются классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности - это множество элементов $G,$ и разные такие классы не пересекаются. Поэтому, $K\subseteq G/H$ тоже состоит из этих классов эквивалентности - только не из всех, а из некоторых. Если их объединить, как множества, то получится некоторое подмножество группы $G.$ Осталось доказать, что это подгруппа $G.$ (Кстати, это может быть не единственная такая $K',$ что $K'/H=K.$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 18:43 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Munin в сообщении #980894 писал(а):
Группа $G/H$ состоит из элементов, которые называются классы эквивалентности.

Все-таки обычно (в теории групп) их называют смежными классами.

Munin в сообщении #980894 писал(а):
Кстати, это может быть не единственная такая $K',$ что $K'/H=K.$

Если рассматривается факторгруппа $K' / H$, то подразумевается, что $H \leq K'$, а такая подгруппа со свойством $K' / H = K$ единственная. Могут быть другие подгруппы группы $G$ которые при гомоморфизме $G \to G / H$ отображается на $K$, но они не будут содержать $H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65082
AV_77 в сообщении #980915 писал(а):
Все-таки обычно (в теории групп) их называют смежными классами.

А, точно. Пардон.

AV_77 в сообщении #980915 писал(а):
Если рассматривается факторгруппа $K' / H$, то подразумевается, что $H \leq K'$, а такая подгруппа со свойством $K' / H = K$ единственная. Могут быть другие подгруппы группы $G$ которые при гомоморфизме $G \to G / H$ отображается на $K$, но они не будут содержать $H$.

Ещё сильнее пардон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп, фактор-группы
Сообщение21.02.2015, 19:51 


10/02/11
6786
я понял вопрос следующим образом. пусть в группе $G$ есть нормальная погруппа $H$. Рассмотрим подгруппу $S\subset G/H$. Существует ли подгруппа $K\subset G$ такая, что $K/H=S$? я бы посмотрел в прообразе $p^{-1}(S)$, где $p:G\to G/H$ естественная проекция

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group