Доказать равенство

[SlayZar]

Требуется доказать такое равенство:

$$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+u)}{\alpha^2+u^2}du} = \pi \frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}{f(x+\alpha)+f(x-\alpha)}}{2}$$

Пробовал доказывать по-разному, но к успеху так и не пришел(
Если заменить в левой части предел интеграла на интеграл предела, то получится $\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+u)}{u^2}du}$, но дальше все равно не получается

Также пробовал воспользоваться равенством для интеграла Фурье в точках разрыва:
$\pi \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\int\limits_{0}^{+\infty}d\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos \alpha(x-t)dt$,
но интеграл Фурье мы еще не брали и я с ним пока мало знаком.
Подскажите, пожалуйста, каким путём доказательства лучше пойти?

[ewert]

Перейти к $\lim\limits_{\alpha \to 0}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt$, причём достаточно рассмотреть случай, когда $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)=0$. Далее зависит от условий на функцию; например, если она ограничена, то достаточно будет теоремы о поточечной сходимости и суммируемой мажоранте. Фурье тут совсем не при чём.

[SlayZar]

ewert в сообщении #980168 писал(а):

Перейти к $\lim\limits_{\alpha \to 0}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt$, причём достаточно рассмотреть случай, когда $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)=0$.

А разве тут пределы изменяются? Вроде бы после замены пределы интегрирования останутся:
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+u)}{\alpha^2+u^2}du} =\left\lbrace u=\alpha t; du=\alpha dt \right\rbrace = \lim\limits_{\alpha \to 0} {\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{\alpha^2(1+t^2)} \alpha dt}=\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$

ewert в сообщении #980168 писал(а):

Далее зависит от условий на функцию; например, если она ограничена, то достаточно будет теоремы о поточечной сходимости и суммируемой мажоранте.

Вот про функцию к сожалению вообще ничего не известно. Дано лишь равенство без каких-либо условий(

[svv]

SlayZar в сообщении #980218 писал(а):

А разве тут пределы изменяются?

Интеграл разбит на сумму $\int\limits_{-\infty}^0$ и $\int\limits_0^{+\infty}$, далее можно рассмотреть один из них (приятнее «положительный»), другой ведет себя аналогично.

[SlayZar]

svv в сообщении #980266 писал(а):

SlayZar в сообщении #980218 писал(а):

А разве тут пределы изменяются?

Интеграл разбит на сумму $\int\limits_{-\infty}^0$ и $\int\limits_0^{+\infty}$, далее можно рассмотреть один из них (приятнее «положительный»), другой ведет себя аналогично.

Да, понятно, тогда так получается:
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}=\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{-\infty}^{0} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}+\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
Рассмотрим положительный:
только тут возникает вопрос, надо ли как-то обосновывать, что предел интеграла равен интегралу предела? То есть можем ли мы сразу записать так?
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$

Дальше получается, что $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)}$. Только не совсем понятен этот переход. Не подскажите, как можно доказать это равенство?

Используя это равенство, уже все получается:
$\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha )} \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{1}{1+t^2}dt} = \frac{\pi}{2}\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha )}$
Второй интеграл соответственно будет равен
$\frac{\pi}{2}\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x-\alpha )}$
И в сумме получаем то, что требовалось доказать.

[SlayZar]

SlayZar в сообщении #980281 писал(а):

$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$

Вот этот переход верен, если $f(x, \alpha)$ - непрерывная функция, но вот не подскажите можем ли мы использовать этот переход, если нам ничего не сказано про функцию $f$?

[provincialka]

Если совсем ничего не известно про $f(x)$, то какой смысл имеет правая часть исходного равенства? Там ведь указаны одностороннии пределы. Они-то должны сущствовать. По карне мере "в смысл глвного значения"

[ex-math]

Разумно предположить, что от функции требуется существование интеграла в левой части и односторонних пределов в правой. Но без каких-то дополнительных условий доказывать затруднительно. Желательна равномерная по $\alpha$ сходимость интеграла.

[SlayZar]

ex-math
Да, похоже тут условие неполное(
То есть получается, что, у нас должно быть условие равномерной сходимости интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty} {f(x, \alpha)}$ по $\alpha$ для этого перехода: $\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
И без этого условия исходное равенство, вообще говоря, не верно, так?

А вот этот переход тоже ведь не для всякой функции верен будет или нет?
$\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)}$

[ex-math]

SlayZar в сообщении #980657 писал(а):

То есть получается, что, у нас должно быть условие равномерной сходимости интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty} {f(x, \alpha)}$ по $\alpha$ для этого перехода: $\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
И без этого условия исходное равенство, вообще говоря, не верно, так?

Ну смотрите. Вам надо разбить интеграл на два куска некоторой точкой $T$. Если он сходится равномерно, то это $T$ можно выбрать независимо от $\alpha$ таким, что "хвост" интеграла будет меньше заданного $\varepsilon$. Как уже было сказано, можно считать, что $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}=0$. Тогда при достаточно малом $\alpha$ модуль $f(x+\alpha T)$ будет меньше $\varepsilon$. Но тогда и $|f(x+\alpha t)|<\varepsilon$ при всех $t\in(0,T]$, что позволяет перейти к пределу под знаком оставшегося собственного интеграла. Распишите это в деталях сами.

SlayZar в сообщении #980657 писал(а):

А вот этот переход тоже ведь не для всякой функции верен будет или нет?
$\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)}$

Для положительного $t$ это верно (если подразумевать, что $\alpha$ стремится к нулю справа). Только я бы записал так:

$$\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{y \to x+0}f(y)}.$$