2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать равенство
Сообщение19.02.2015, 12:58 


14/11/13
244
Требуется доказать такое равенство:
$$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+u)}{\alpha^2+u^2}du} = \pi \frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}{f(x+\alpha)+f(x-\alpha)}}{2}$$

Пробовал доказывать по-разному, но к успеху так и не пришел(
Если заменить в левой части предел интеграла на интеграл предела, то получится $\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+u)}{u^2}du}$, но дальше все равно не получается

Также пробовал воспользоваться равенством для интеграла Фурье в точках разрыва:
$\pi \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\int\limits_{0}^{+\infty}d\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos \alpha(x-t)dt$,
но интеграл Фурье мы еще не брали и я с ним пока мало знаком.
Подскажите, пожалуйста, каким путём доказательства лучше пойти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение19.02.2015, 13:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Перейти к $\lim\limits_{\alpha \to 0}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt$, причём достаточно рассмотреть случай, когда $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)=0$. Далее зависит от условий на функцию; например, если она ограничена, то достаточно будет теоремы о поточечной сходимости и суммируемой мажоранте. Фурье тут совсем не при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение19.02.2015, 15:33 


14/11/13
244
ewert в сообщении #980168 писал(а):
Перейти к $\lim\limits_{\alpha \to 0}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt$, причём достаточно рассмотреть случай, когда $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)=0$.

А разве тут пределы изменяются? Вроде бы после замены пределы интегрирования останутся:
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+u)}{\alpha^2+u^2}du} =\left\lbrace u=\alpha t; du=\alpha dt \right\rbrace = \lim\limits_{\alpha \to 0} {\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{\alpha^2(1+t^2)} \alpha dt}=\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
ewert в сообщении #980168 писал(а):
Далее зависит от условий на функцию; например, если она ограничена, то достаточно будет теоремы о поточечной сходимости и суммируемой мажоранте.

Вот про функцию к сожалению вообще ничего не известно. Дано лишь равенство без каких-либо условий(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение19.02.2015, 17:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
SlayZar в сообщении #980218 писал(а):
А разве тут пределы изменяются?
Интеграл разбит на сумму $\int\limits_{-\infty}^0$ и $\int\limits_0^{+\infty}$, далее можно рассмотреть один из них (приятнее «положительный»), другой ведет себя аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение19.02.2015, 18:05 


14/11/13
244
svv в сообщении #980266 писал(а):
SlayZar в сообщении #980218 писал(а):
А разве тут пределы изменяются?
Интеграл разбит на сумму $\int\limits_{-\infty}^0$ и $\int\limits_0^{+\infty}$, далее можно рассмотреть один из них (приятнее «положительный»), другой ведет себя аналогично.

Да, понятно, тогда так получается:
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}=\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{-\infty}^{0} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}+\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
Рассмотрим положительный:
только тут возникает вопрос, надо ли как-то обосновывать, что предел интеграла равен интегралу предела? То есть можем ли мы сразу записать так?
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$

Дальше получается, что $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)}$. Только не совсем понятен этот переход. Не подскажите, как можно доказать это равенство?

Используя это равенство, уже все получается:
$\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha )} \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{1}{1+t^2}dt} = \frac{\pi}{2}\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha )}$
Второй интеграл соответственно будет равен
$\frac{\pi}{2}\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x-\alpha )}$
И в сумме получаем то, что требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение20.02.2015, 21:02 


14/11/13
244
SlayZar в сообщении #980281 писал(а):
$\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$

Вот этот переход верен, если $f(x, \alpha)$ - непрерывная функция, но вот не подскажите можем ли мы использовать этот переход, если нам ничего не сказано про функцию $f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение20.02.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11483
Казань
Если совсем ничего не известно про $f(x)$, то какой смысл имеет правая часть исходного равенства? Там ведь указаны одностороннии пределы. Они-то должны сущствовать. По карне мере "в смысл глвного значения"

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение20.02.2015, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Разумно предположить, что от функции требуется существование интеграла в левой части и односторонних пределов в правой. Но без каких-то дополнительных условий доказывать затруднительно. Желательна равномерная по $\alpha$ сходимость интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение20.02.2015, 23:38 


14/11/13
244
ex-math
Да, похоже тут условие неполное(
То есть получается, что, у нас должно быть условие равномерной сходимости интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty} {f(x, \alpha)}$ по $\alpha$ для этого перехода: $\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
И без этого условия исходное равенство, вообще говоря, не верно, так?

А вот этот переход тоже ведь не для всякой функции верен будет или нет?
$\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равенство
Сообщение21.02.2015, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
SlayZar в сообщении #980657 писал(а):
То есть получается, что, у нас должно быть условие равномерной сходимости интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty} {f(x, \alpha)}$ по $\alpha$ для этого перехода: $\lim\limits_{\alpha \to 0} {\int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt} = \int\limits_{0}^{+\infty} {\frac{\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}{1+t^2}dt}$
И без этого условия исходное равенство, вообще говоря, не верно, так?
Ну смотрите. Вам надо разбить интеграл на два куска некоторой точкой $T$. Если он сходится равномерно, то это $T$ можно выбрать независимо от $\alpha$ таким, что "хвост" интеграла будет меньше заданного $\varepsilon$. Как уже было сказано, можно считать, что $\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}=0$. Тогда при достаточно малом $\alpha$ модуль $f(x+\alpha T)$ будет меньше $\varepsilon$. Но тогда и $|f(x+\alpha t)|<\varepsilon$ при всех $t\in(0,T]$, что позволяет перейти к пределу под знаком оставшегося собственного интеграла. Распишите это в деталях сами.
SlayZar в сообщении #980657 писал(а):
А вот этот переход тоже ведь не для всякой функции верен будет или нет?
$\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha)}$
Для положительного $t$ это верно (если подразумевать, что $\alpha$ стремится к нулю справа). Только я бы записал так:
$$\lim\limits_{\alpha \to 0}f(x+\alpha t)}= \lim\limits_{y \to x+0}f(y)}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group