Частные решения диффура

[fronnya]

Вот простой диффур: $x\frac{dy}{dx}+y=y^2$ Разделяем переменные $\frac{dy}{y^2-y}=\frac{dx}{x}$ и получаем его общий интеграл

$$y(1-cx)=1$$

Вот есть ещё помимо этого интеграла возможные решения: $y=0$, $y=1$, $x=0$. Перепишу уравнение в виде: $xdy=(y^2-y)dx$ю Все эти три возможных решения удовлетворяют уравнению, да? Значит они тоже являются решениями. Как проверить, какие это решения?

[provincialka]

fronnya в сообщении #980316 писал(а):

Как проверить, какие это решения?

В каком смысле "какие"? Кстати, $x=0$ не является решение начального уравнение. А одно из оставшихся входит в общую формулу.

[svv]

fronnya
Я понимаю Вас в том, что естественной формой этого ДУ является запись в дифференциалах. Нам говорят, что при этом появляются дополнительные решения, но мы отвечаем: «Нет! Так и было. Это при записи $f(x, y, y')=0$ теряются те решения, которые не могут быть записаны в виде $y(x)$, но на самом деле они есть, мы знаем».

Соответственно, интеграл можно записать в форме
$a(y-1)+cxy=0$
Здесь $a$ и $c$ — произвольные постоянные, не равные одновременно нулю. Понятно, что существенных констант здесь не две, а одна, это только форма записи. (А вот ещё одна: $(y-1)\cos\varphi+xy\sin\varphi=0$, где $\varphi=\operatorname{const}$.)
Отсюда Вы можете получить все решения, которые хотели. Например, при $a=0$ получаем $x=0$ либо $y=0$. А при $c=0$ получаем $y=1$. При ненулевых $a, c$ получаем всё остальное.

Вы только это никому не рассказывайте.