fronnyaЯ понимаю Вас в том, что естественной формой этого ДУ является запись в дифференциалах. Нам говорят, что при этом появляются дополнительные решения, но мы отвечаем: «Нет! Так и было. Это при записи

теряются те решения, которые не могут быть записаны в виде

, но
на самом деле они есть, мы знаем».
Соответственно, интеграл можно записать в форме

Здесь

и

— произвольные постоянные, не равные одновременно нулю. Понятно, что существенных констант здесь не две, а одна, это только форма записи. (А вот ещё одна:

, где

.)
Отсюда Вы можете получить все решения, которые хотели. Например, при

получаем

либо

. А при

получаем

. При ненулевых

получаем всё остальное.
Вы только это никому не рассказывайте.